0014

15

§ 2. Wprowadzenie liczb niewymiernych — Relacja uporządkowania w zbiorze

W przypadku wyłączonym z rozważań, gdy a jest sama liczbą całkowitą lub ogólnie skończonym ułamkiem dziesiętnym, można podobnie określać kolejno liczbę C₀ i cyfry c₁₍ c₂, ..., c„, ... wychodząc z ogólniejszych niż (1) związków

(la)    C₀,c_lc₂...c_n^ctśC₀, cjc₂...c_n + ^-

Rzecz w tym, że w pewnej chwili liczba a pokrywa się z jednym z końców przedziału, w którym ją zawieramy, z lewym lub z prawym — według naszego wyboru; rozpoczynając od tej chwili, z lewej lub z prawej strony w (la) zachodzi już stale równość. Zależnie od tego, która z możliwości jest realizowana, stwierdzamy, że ostatnie cyfry są wszystkie zerami lub wszystkie dziewiątkami. Tak więc, tym razem liczba oc ma dwa przedstawienia — jedno z zerem w okresie, drugie z dziewiątką w okresie, np.

3,826 = 3,826000... = 3,825999...,

- 3,826=4,174000... = 4,173999...

Niech teraz, odwrotnie, dany będzie dowolnie nieskończony ułamek dziesiętny (2); pokażemy, że zawsze istnieje liczba rzeczywista a, dla której ten właśnie ułamek jest przedstawieniem dziesiętnym. W tym celu rozważmy odcinki ułamka (2):

(3)

Cn~Co, c_l c₂...c„,

które są jakby „przybliżeniami z niedomiarem” dla dowolnej liczby, a także jej „przybliżenia z nadmiarem”

(4)

—C₀, c j c₂

..c„ +

1

10" ‘

Łatwo zauważyć, że każde C_n jest mniejsze od każdego C'_m (nie tylko dla m=n, ale także dla m>n lub m<ń). Dokonamy teraz następującego przekroju w zbiorze liczb wymiernych. Do górnej klasy A' zaliczamy takie liczby wymierne a’, które są większe niż wszystkie C„ (na przykład wszystkie liczby C'_n), a do klasy dolnej A — wszystkie pozostałe (np. same liczby C„). Łatwo sprawdzić, że jest to przekrój; określa on liczbę rzeczywistą a, która jest liczbą szukaną.

Rzeczywiście, ponieważ a jest liczbą graniczną między dwiema klasami, to w szczególności

tj. liczba a spełnia wszystkie nierówności postaci (la). Pokazaliśmy więc, że wzięty dowolnie ułamek (2) jest przedstawieniem znalezionej liczby.

Różnica pomiędzy przybliżeniami dziesiętnymi (4) i (3) z nadmiarem i niedomiarem równa się 1/10", i ze wzrostem n można ją uczynić mniejszą niż dowolna liczba e>0. Rzeczywiście, ponieważ liczb naturalnych nie przekraczających liczby l[e istnieje tylko liczba skończona, więc nierówność 10"^ l/e lub równoważna jej nierówność 1/10" może