0010

11

§ 2. Wprowadzenie liczb niewymiernych — Relacja uporządkowania w zbiorze

Jak łatwo się przekonać, otrzymaliśmy znowu przekrój. W przekroju tym nie ma największej liczby w klasie A, ani najmniejszej liczby w klasie A'. Udowodnimy np. pierwszą z tych tez (drugiej dowodzimy analogicznie). Niech a będzie dowolną liczbą dodatnią w klasie A, a więc a²<2. Pokażemy, że można dobrać taką liczbę naturalną n, że

K)'«-czyli liczba a+l/n także należy do klasy A.

Wspomniana nierówność równoważna jest nierównościom:

₂    2 a    1

u H---1—j <2,

2 a 1    ,

— + ^<2-a . n n

Ostatnia nierówność będzie tym bardziej spełniona, jeżeli zażądamy, żeby n spełniało nierówność (2a + l)/n<2—a², a w tym celu wystarcza obrać

2a + 1

n>-^,

2-a²

co jest zawsze możliwe (na podstawie aksjomatu Archimedesa, IV. 1°).

A więc dla dowolnej liczby dodatniej a w klasie A znąjdziemy w tej samej klasie liczbę od poprzedniej liczby większą; ponieważ dla liczb a<0 twierdzenie to jest bezpośrednio oczywiste, więc w klasie A nie ma liczby największej.

Łatwo pojąć, że nie może istnieć przekrój, w którym równocześnie w klasie dolnej istniałaby liczba największa a₀, a w klasie górnej liczba najmniejsza a'₀. Przypuśćmy, że taki przekrój istnieje. Korzystając z gęstości zbioru liczb wymiernych I. 3° obierzmy teraz dowolną liczbę wymierną c, zawartą między a₀ i a'₀, a₀<c<a^. Liczba c nie może należeć do klasy A, bo inaczej a₀ nie byłoby największą liczbą w swojej klasie. Z analogicznych przyczyn c nie może należeć do klasy A', co przeczy własności 1° występującej w definicji tego pojęcia.

Tak więc przekroje mogą być tylko trzech różnych typów, ilustrowanych właśnie przykładami 1, 2, 3:

1)    albo w dolnej klasie A nie ma liczby największej, a w górnej klasie A' jest najmniejsza liczba r;

2)    albo w dolnej klasie A jest największa liczba r, a w górnej klasie A' nie ma liczby najmniejszej;

3)    albo wreszcie ani w dolnej klasie nie ma liczby największej, ani w górnej klasie liczby najmniejszej.

W pierwszych dwu przypadkach mówimy, że przekrój wyznacza liczbę wymierną r (która jest liczbą graniczną pomiędzy klasami A i Aj. W przykładach 1, 2 taką liczbą r była liczba 1. W trzecim przypadku granicznej liczby nie ma i przekrój nie określa żadnej liczby wymiernej. Wprowadzając teraz nowe obiekty — liczby niewymierne, przyjmijmy,