0018

19

§ 2. Wprowadzenie liczb niewymiernych — Relacja uporządkowania w zbiorze

sama liczba /? należy do klasy A' i jest tam liczbą najmniejszą. Tak więc liczba /?, jako najmniejsza z wszystkich krańców górnych, jest szukanym kresem górnym zbioru SC— {x}.

Analogicznie dowodzimy także drugiej części twierdzenia (odnoszącej się do istnienia kresu dolnego).

Jeżeli M* jest kresem górnym zbioru liczb SC — {*}, to dla wszystkich x jest

x?M*.

Weźmy teraz dowolną liczbę a mniejszą niż M*. Ponieważ ‘M* jest najmniejszym z krańców górnych, to liczba a z pewnością nie jest kresem górnym dla zbioru SC, tj. istnieje taka liczba x' z SC, że

x’><x.

Te dwie nierówności charakteryzują w pełni kres górny zbioru SC.

Analogicznie, kres dolny m* zbioru SC charakteryzuje się tym, że dla wszystkich xe SC jest

x^m*

i dla dowolnej liczby /? większej odm* istnieje taka liczba x" ze zbioru SC, że

x"<p.

Dla oznaczenia kresu górnego M* i kresu dolnego m* zbioru liczbowego SC używamy symboli

M* — sup SC=sup {x},    m*=inf SC=inf {x}

(z łacińskiego: supremum — największe, infimum — najmniejsze).

W dalszym ciągu często będziemy korzystali z następującego ważnego wniosku:

Jeżeli wszystkie liczby x pewnego zbioru spełniają nierówność x^M, to również sup {x}^M.

Rzeczywiście, jeżeli M jest jednym z krańców górnych zbioru, to najmniejszy z krańców górnych nie przewyższa M.

Analogicznie, z nierówności x^m wynika, że również inf {x}^m.

Umówmy się dodatkowo, że jeżeli zbiór SC = {x} nie jest ograniczony z góry, to mówimy, że kres górny zbioru SC równa się +00 i piszemy sup{x}= +00. Podobnie, jeżeli zbiór SC = {x} nie jest ograniczony z dołu, to mówimy, że kres dolny zbioru SC równa się —00, inf {x}= —00.

§ 3. Działania arytmetyczne na liczbach rzeczywistych

12. Określenie sumy liczb rzeczywistych. Omówimy teraz działania na liczbach rzeczywistych. W dalszym ciągu litery greckie a, /?, y oznaczać będą właśnie liczby rzeczywiste, zarówno wymierne, jak niewymierne.