0016

17

§ 2. Wprowadzenie liczb niewymiernych — Relacja uporządkowania w zbiorze

Twierdzenie podstawowe (Dedekinda). Dla każdego przekroju Aj A' w zbiorze liczb rzeczywistych istnieje liczba rzeczywista fi określająca przekrój. Liczba fi jest albo 1° największa w klasie dolnej A, albo 2° najmniejsza w klasie górnej A’.

Tę własność zbioru liczb rzeczywistych nazywamy zupełnością zbioru, a także ciągłością (lub spójnością).

Dowód. Oznaczmy przez A zbiór wszystkich liczb wymiernych należących do A, a przez A' zbiór wszystkich liczb wymiernych należących do A'. Łatwo przekonać się, że zbiory A i A' tworzą przekrój w zbiorze wszystkich liczb wymiernych.

Przekrój ten A\A' określa pewną liczbę rzeczywistą fi. Liczba ta powinna należeć do jednej z klas A, A'; załóżmy na przykład, że fi należy do dolnej klasy A, i pokażmy, że wówczas spełniony jest przypadek 1°, a mianowicie, że fi jest w klasie A liczbą największą. W istocie, gdyby tak nie było, to znaleźlibyśmy inną liczbę a₀ tej samej klasy większą niż fi. Wstawmy (opierając się na lemacie 1) pomiędzy a₀ i fi liczbę wymierną r :

ct₀>r>fi.

Liczba r należy także do klasy A, a więc należy do klasy A. Otrzymaliśmy sprzeczność. Liczba wymierna r należąca do klasy dolnej przekroju określającego liczbę fi, jest większa od tej liczby! Oznacza to, że twierdzenie jest słuszne.

Analogiczne rozumowanie pokazuje, że jeżeli fi należy do górnej klasy A', to spełniony jest przypadek 2°.

Uwaga. Jednoczesne istnienie największej liczby w klasie A i najmniejszej liczby w klasie A' — jest niemożliwe; fakt ten stwierdzamy podobnie, jak dla przekrojów w zbiorze liczb wymiernych (za pomocą lematu 1).

11. Krańce zbiorów liczbowych. Wykorzystamy twierdzenie podstawowe (ustęp 10), aby określić teraz pewne pojęcia, grające ważną rolę w analizie współczesnej. (Pojęcia te będą przydatne już przy rozważaniu działań arytmetycznych na liczbach rzeczywistych).

Wyobraźmy sobie dowolny nieskończony zbiór liczb rzeczywistych. Takim zbiorem jest np. zbiór liczb naturalnych, zbiór wszystkich ułamków właściwych, zbiór wszystkich liczb rzeczywistych pomiędzy 0 i 1, zbiór pierwiastków równania sin x—^, itd.

Oznaczmy dowolną z liczb zbioru przez x; tak więc x jest typowym oznaczeniem liczb zbioru; sam zbiór liczb x oznaczać będziemy przez 9C={*}.

Jeżeli dla rozważanego zbioru {*} istnieje taka liczba M, że wszystkie x^M, to powiemy, że nasz zbiór jest ograniczony z góry (liczbą M). Sama liczba M jest w tym przypadku krańcem górnym zbioru {*}. Na przykład zbiór ułamków właściwych jest ograniczony z góry liczbą 1 lub dowolną liczbą większą niż 1; zbiór liczb naturalnych nie jest ograniczony z góry.

Podobnie, jeżeli istnieje taka liczba m, że wszystkie x^m, to mówimy, że zbiór {x} jest ograniczony z dołu (liczbą mi). Samą liczbę m nazywamy krańcem dolnym zbioru {x}. Na przykład zbiór liczb naturalnych jest ograniczony z dołu liczbą 1 lub dowolną liczbą mniejszą niż 1; zbiór ułamków właściwych jest ograniczony z dołu liczbą 0 lub dowolną liczbą mniejszą niż 0.

2 G. M. Fichtenholz