0012

13

§ 2. Wprowadzenie liczb niewymiernych — Relacja uporządkowania w zbiorze

I. 1° Dla każdej pary liczb (rzeczywistych) ot i fi zachodzi jeden i tylko jeden ze związków.

a = /?,    a>/?, P> a.

Jeżeli przekrój A i A' określający liczbę a pokrywa się z przekrojem B\B' określającym liczbę /?, to a=p. Jeżeli te dwa przekroje nie pokrywają się, to albo A całkowicie zawiera B i wówczas a>p, albo tak nie jest. W ostatnim przypadku istnieje element b₀ klasy B, należący do klasy A’. Wówczas dla dowolnego elementu a klasy A mamy a<b₀. Dlatego klasa B zawiera klasę A, nie pokrywając się z nią, i mamy fi>a.

I. 2° Z a>p, P>y wynika, że coy.

Niech liczby a, /?, y (wśród których mogą być również i wymierne) określone będą przekrojami A\A\ B\B\ C\C’. Jeżeli ot>P, to z definicji pojęcia większości klasa A zawiera klasę B, nie pokrywając się z nią. Z drugiej strony, ponieważ P>y, więc klasa B zawiera w sobie klasę C, nie pokrywając się z nią. Wynika stąd, że klasa A zawiera całkowicie klasę C, nie pokrywając się z nią, tj. a>y.

Pojęcie mniejszości ustalamy teraz jak w ustępie 2; mówimy, że a<P, jeżeli /?>oc. Również relacja < ma własność przechodniości, podobnie jak relacja >.

8. Tezy pomocnicze. Ustalimy teraz własność gęstości w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych (por. I. 3°), dokładniej, udowodnimy następujący lemat:

Lemat 1. Dla dowolnych liczb rzeczywistych ot i p i dla oop, istnieje zawsze liczba wymierna r zawarta pomiędzy nimi, oc>r>P (a więc również nieskończenie wiele takich liczb wymiernych).

Ponieważ a>fi, więc dolna klasa A przekroju określającego liczbę a zawiera w sobie całkowicie dolną klasę B dla liczby p i nie pokrywa się z nią. Dlatego w klasie A istnieje taka liczba wymierna r, która nie zawiera się w B, a więc należy do B'; dla niej

a>r^p

(równość mogłaby zachodzić tylko wtedy, gdyby P była liczbą wymierną). Ponieważ jednak w klasie A nie ma liczby największej, to ewentualnie zwiększając r można wykluczyć równość.

Uwaga. Ustalając, że pomiędzy liczbami rzeczywistymi a i p (jeżeli a>/?) musi być zawarta liczba wymierna (a nie tylko rzeczywista), udowodniliśmy faktycznie silniejszą własność zbioru liczb rzeczywistych, niż gęstość. W dalszym ciągu będziemy się posługiwali tą mocniejszą własnością.

Wynika stąd bezpośrednio

Lemat 2. Niech dane będą dwie liczby rzeczywiste ot i p. Jeżeli dla dowolnej liczby e>0 liczby ot i P mogą być zawarte pomiędzy tymi samymi ograniczeniami wymiernymi s i s',

s'^a^s,    s'^P^s,

o różnicy mniejszej niż e,

s' — s<e,

to liczby a i P muszą być równe.