0109

110

II. Funkcje jednej zmiennej

więc

lim ^1 +x=l,

x-0

czyli wraz z x i y-*0. W takim razie, na mocy poprzedniego przypadku

Vi+*-i    y ¹

x-*o x    »-o(l+y) —1 m

Wreszcie przypadek ogólny r=n/m rozwiązujemy wprowadzając tę samą zmienną y: (l+x)"^/m-l    (l+y)"-l    (l+y)"-l y

skąd

lim

X-. O

4) Znaleźć granicę

\j i +jc — 1 —

lim

x-*0

X .

m

Za pomocą tegoż podstawienia Vl+x—l=y przekształcamy rozważane wyrażenie do postaci

m — 1

1    _    m—1 ,

y--[U+yr-l]--— y-

m    2

[(l+yr-n²

m²y¹ + ...

skąd widać od razu, że szukana granica wynosi — (m—l)/2m². 5) Granicę [54, 7)]

sin x

lim-=1 ,

*-o x

często wykorzystujemy dla znalezienia innych granic, a)

Oczywiście

1	—cos*	1	/ 0 \
lim -	—		— •
x-»0	x^2	2	W
	„ . 2 ^X		*,
	2 sin —		/sin —
1 — cos A-	2	1	/ 2

x

Y

a ponieważ wyrażenie w nawiasie dąży do 1, więc granicą szukaną jest i. b)

tgx—sin* 1 lim--:

4 (!)■

Również tutaj przekształcenie wyrażenia prowadzi do już zbadanych granic

tg* — sin* 1 sin* 1— cos*

³ cos*    ²

x

x

X