0115

116

II. Funkcje jednej zmiennej

Przyjmując a = l/x, łatwo już stwierdzić, że (^Ł)

lim

-> + oo a'

3/2

= lim

_₌_~2(Vx)³_

(Vx+l+\/x)(\/x + \/x-l)(\/x-l+\/x+l)

= lim

+ 00

1+—+1

x

1

4

Tak więc rząd tego wyrażenia wynosi f.

Nie należy oczywiście sądzić, że dla każdej nieskończenie małej fi (nawet porównywalnej ze wszystkimi potęgami a*) można ustalić określony rząd.

Podane tu przykłady można otrzymać ze wzorów, ustalonych w ustępie 54,4) i 5) (dla

a> 1 i k>0):

(2)

lim -j-=+co,

x~* + oo X

lim

X “♦ + 00

log₀x

= 0.

Mamy stąd przede wszystkim

lim —_x =0,

I- + 0O <1

lim -= oo .

x-> + oo log_aX

Zastępując teraz x przez l/x i przyjmując jeszcze w pierwszym z tych związków a = 1/c, 0 < c < 1, otrzymujemy:

lim —j-= 0, oc-> + o x

lim

x-* + 0

log_ax

= 00 .

Tak więc nieskończenie mała c^1/x (0<c<l) jest wyższego rzędu, niż wszystkie potęgi x^k (k>0), podczas gdy nieskończenie mała l/log_fl x (a> 1) jest niższego rzędu, niż wszystkie te potęgi.

62. Nieskończenie małe równoważne. Zatrzymamy się teraz na pewnym szczególnie ważnym przypadku nieskończenie małych tego samego rzędu.

IV. Będziemy nazywali nieskończenie małe a i /? równoważnymi (oznaczenie: a~/?J, jeżeli ich różnica y=/?—a jest wielkością niższego rzędu, niż każda z nieskończenie małych

a i fi:

y = o(<x) i y = o(fi).

Wystarcza zresztą zażądać, żeby y była wyższego rzędu niż jedna z tych nieskończenie

f¹) Korzystamy tu wszędzie z uwagi, źe lim Vl+z = l, co było udowodnione w ustępie 56, 3 (dla pierwiastka dowolnego stopnia m).    ^z"°