010

1

TT /(^)²|Ć + dt =

b

D* POLE POWIERZCHNI OBROTOWEJ

Oto wzory na pole powierzchni obrotowej we współrzędnych kartezjańskich i parametrycznych (przy założeniu, że obracana krzywa przecina siebie samą w co najwyżej skończonej ilości punktów):

4	zal.: f^r[x) jest ciągła ^--^ ^1 ■ ' h \ y
0 f	lfl| \!b ł x Jtt/ |/(:r)|Y^^1 + a

PRZYKŁAD 9, Wyprowadzić wzór na pole powierzchni części sfery o promieniu R leżącej między równoległymi płaszczyznami w odległości k < R od środka kuli.

k

2 TT / — k

Sferę o promieniu ii! otrzymujemy przez obrót pól o kręgu wokół odcinka łączącego końce półokręgu. Dogodnie jest przyjąć, że jego końce to punkty    oraz (JI,0).

Półokrąg ma równanie x² 4- y² = R² dla y >    0,

czyli y = \f R² ~ x²> W naszym zadaniu obracamy jedynie część tego półokręgu leżącą .^między prostymi x =

—k oraz x — k. Pochodna funkcji f(x) =    ^

wynosi f‘{x) = _2V^^X_^ = 7#=f* ^Poki rozważanej

h

części sfery wynosi zatem 2tt j ybR^a — x²

-k

1 +

X²

n:² -

_ k

x'² + x² dx — 2tt ( R dx =

-k

2 7rIŁr

~k

2^,KR{k — (-k)) = 47t Rk>

PRZYKŁAD 10* Obliczyć pole powierzchni bryły powstałej przez obrót asteroidy

^(t) — a cos' i gĄ₇[_v () < t < 2ti\ wokół osi Ox. y(0 = asm¹ h

Oczywiście x^f(t) — 3a cos²1(-■ sin i) oraz y'(t) = 3asin² ćcostf są funkcjami ciągłymi, Ko rzystamy ze wzoru na pole powierzchni obrotowej dla 0 < t < §. Podwajając je (na mocy

TT

^ _____

symetrii) widzimy, że pole wynosi 2 ■ 2n f |asin³ V9a^cos^7sii? t + 9a² sin'¹ i cos² t dt =

b

94