0135

136

II. Funkcje jednej zmiennej

w zależności od tego, czy

(«)    /(c)< 1 ,

czy

O)    /(c)> 1.

1. Zajmiemy się najpierw przypadkiem (a).

Ponieważ 0</(c)<l, to znajdziemy takie 0 (0<0<ł«), że

(12)    y(c>—cos 0.

Sprowadzając następnie warunek (E) do postaci

f(y+x) =2f(x)f(y) -f(y-x),

podstawiajmy w nim kolejno

X=Cy	y—c.
x=c,	y=2c,
x=cy Otrzymujemy, uwzględniając (10) i (12)	y—3c
/(2c)=2cos^2 0—1	=cos2tf,

/(3c)=2 cos 0 cos 2 0—cos 0=cos 3 0,

/(4c)=2cos0cos3 0—cos20=cos40

itd. Korzystając z metody indukcji matematycznej łatwo dowodzimy dla dowolnego naturalnego m wzoru

(13)    f(mc) = cos m0.

Jeżeli w (E) przyjmiemy x = y = \c, to otrzymujemy (znowu uwzględniając (10) i (12)):

r/vi /(°)+/(^c)    1+cos6>    ,

[/(ic)] =---= —---=[cosi0]² ;

ponieważ wartości f(x) są dodatnie między x=Q i x=c, a funkcja cos x — pomiędzy 0 i 0, więc wyciągając po obu stronach pierwiastki arytmetyczne otrzymujemy równość:

/(i c)=cosi 6.

1

Podobnie, podstawiając w (E) x=y=^jc znajdujemy, że

^f(pj^=cosi^

itd. W ten sposób przez indukcję matematyczną otrzymujemy ogólny związek

(14)    /(?^C)⁼cos^®    (« = 1,2,3,...).

Powtarzając wreszcie proces, za pomocą którego przeszliśmy od (12) do (13), otrzymujemy z (14) równość