0135

0135



136


II. Funkcje jednej zmiennej

w zależności od tego, czy

(«)    /(c)< 1 ,

czy

O)    f(c)> 1.

1. Zajmiemy się najpierw przypadkiem (a).

Ponieważ 0</(c)<l, to znajdziemy takie 0 (0<0<łit), że

(12)    y(c>—cos 0.

Sprowadzając następnie warunek (E) do postaci

f(y+x) =2f(x)f(y) —f(y-x),

podstawiajmy w nim kolejno

x=c,

y—c.

x=c,

y=2c,

X =c,

Otrzymujemy, uwzględniając (10) i (12)

y—3c

/(2c)=2cos2 0—1

=cos2tf,

/(3c)=2 cos 0 cos 2 0—cos 0=cos 3 0,

/(4c)=2cos0cos3 0—cos20=cos40

itd. Korzystając z metody indukcji matematycznej łatwo dowodzimy dla dowolnego naturalnego m wzoru

(13)    f(mc) = cos m0.

Jeżeli w (E) przyjmiemy x=y=ic, to otrzymujemy (znowu uwzględniając (10) i (12)):

r/vi m* /(°)+/(c) l+cos6>    ,

[/(ic)] =---= —---=[cosi0]2 ;

ponieważ wartości f(x) są dodatnie między x=Q i x=c, a funkcja cos x — pomiędzy 0 i 0, więc wyciągając po obu stronach pierwiastki arytmetyczne otrzymujemy równość:

/(i c)=cosi 0.

1

Podobnie, podstawiając w (E) x=y—^c znajdujemy, że

f(pj=cosi^

itd. W ten sposób przez indukcję matematyczną otrzymujemy ogólny związek

(14)    /(?C)=cos^®    (« = 1,2,3,...).

Powtarzając wreszcie proces, za pomocą którego przeszliśmy od (12) do (13), otrzymujemy z (14) równość


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
136 II. Funkcje jednej zmiennej w zależności od tego, czy(«)    /(c)< 1 , czy O)
80 II. Funkcje jednej zmiennej 4) Omówmy jeszcze zależność ciśnienia powietrza p (atm) od wysokości
88 II. Funkcje jednej zmiennej gdzie a — jak poprzednio jest liczbą dodatnią (różną od jedności); x
152 II. Funkcje jednej zmiennej W tym przypadku liczba <5 zależy tylko od e i jest dobrze dobrana
134 II. Funkcje jednej zmiennej Niech więc dla pewnego x0 funkcja ta będzie różna od zera. Podstawia
rozdział38 województwa, w ramach II stopnia -- na gminy. Zależnie od tego, jak dalece szczegółowa k
10320 IMAGE8 (2) cechy ilościowo. W zależności od tego czy wspomniany podział oparty jest na wartoś

więcej podobnych podstron