013

b

praca = / F(x)s(x)dx

a

PRZYKŁAD 14* Obliczyć pracę potrzebny do wypompowania cieczy o ciężarze właściwym 900 kG/m^ z pełnego zbiornika na wysokość 4 metry od dna zbiornika. Zbiornik ma kształt stożka o przekroju kołowym o promieniu podstawy 2 metry i wysokości 3 metry. Jest ułożony wierzchołkiem w dół.

W każdym momencie procesu pompowania oznaczamy przez x wysokość poziomu cieczy licząc w metrach od najniższego punktu zbiornika. Powierzchnia cieczy jest w tym momencie kołem o promieniu a pole tej powierzchni wynosi 7r(|a)². Wyobraźmy sobie "cienką, warstwę⁷' cieczy o wysokości Ax (to dodatnia liczba bliska zeru na tyle, na ile zechcemy). Ma ona kształt bliski kształtowi walca kołowego. Tę warstwę musimy pompować na wysokość s{x) — A — x metrów z siłą F(x) = 90()7r(|a^T)²Aa^b kG. Ponieważ x £ [0,3], więc całkowita praca potrzebna do wypompowania cieczy ze zbiornika na wskazaną wysokość wynosi (w jednostkach

kGm) f(4 “ x)9007t(|x)³ dx = 4007t/(4^² — x^)dx =

o

400tt(|^-|-⁴ 6300 TT.

o

o

4007r(|-3^f 3⁴) = 400tt(36-^) =

Odpowiedź, Potrzebna praca wynosi 6300tt kGm.

ZADANIA

Zad* 1. Znaleźć pole figury zawartej między wymienionymi krzywymi:

Sf = 5, b )y = x², y = 4x, _c)y=y, y = -x², x = 1, x = 2, d) y = %/x~- 4, y = 0

_ o ,0 n,2 _    ,_v. n ■ _ a ... _    1    _ n c\ _    1

/    i7

/ ,J ^w    V?    ł i/    ’    „    ’    ^ “ł '“*•/    - V ^J    i/ -

® = e) V² = x-y = 4, y = -1, y = 2, f) y=    y = \ , g) y = x, y = 3z

x + y - 4, h) y² - x = 3, 2y - x = 0, i) y = e^x, y = e~^x, x - 1, j) 6y - x + 8 = 0 = 2y², k) y² = 4 + x, y² + x — 2, 1) x² + y² = 16, x² — 12(y - 1), m) y = ¹⁺^"-

f\ 1__    .    -I    \    /    -,-Hl    f    H \ O

X

~    ^    ' ^r    ' ^    a;

y = -2liix, x ~ 1, x = e, n) y ~ (x ~ l)lnx, y — (x - l)²lnx, o) y² + x = f y‘¹-x = 0, y = 3, y = 4, p }y=_T£-₇, y = x², ą)y=^ij~. y = e\nx, r) y = e~i’-y = e³¹, x = -1,

X + y = 6, w) y - yp, y

sj y‘ + x + 4 = 0, 5y - x = 0, t) y = x³, y

x ln x ... _ a ln x

- \x, U) xy = i

Zad. 2. Obliczyć pola figur wewnątrz następujących krzywych;    a)    r    —    cos 2ę?,    b) r    =

2-sm3^, c) r = 2sin3^, d) r = _v/sin f, e) r = a_+c²0ity, f)    r    =    ^cos3^,    g) r    =

2sin | -h cos ^ dla 0 <    < 2x,

Zad* 3. Obliczyć pole między następującymi krzywymi w postaci parametrycznej a osiami 0x oraz Oy:    a) x = 1 - \/i, y = 2 - yft, b)x = lH-ini, y=-31ni, c)x = 2H-lnt,

y = 21nć, d) x = 5 sin²1, y = 4 cos²1, o) x = t + 8, y =    f)    między    krzywą

x=yft, y — At - t² oraz osią Ox, g) x = ln i — 2, y = 4 ln i.

97