0188

189

§ 2. Różniczka

i funkcji złożonej, stają się zwykłymi tożsamościami algebraicznymi (gdyż wszystkie różniczki mogą tu być obliczone względem jednej i tej samej zmiennej). Nie należy zresztą myśleć, że daje to nowy sposób wyprowadzenia wymienionych wzorów. Przede wszystkim nie udowodniono tutaj istnienia pochodnych po lewej stronie, najważniejsze jest jednak to, że korzystaliśmy w sposób istotny z niezmienniczości wzoru na różniczkę, która to niezmienniczość sama jest wnioskiem z reguły V.

107. Różniczki jako źródło wzorów przyoliżonych. Widzieliśmy, że przy Ax->0 różniczka dy funkcji y (jeśli y*#0) jest częścią główną nieskończenie małego przyrostu funkcji Ay. W ten sposób Ay~dy, a więc (3)

Ayxdy

lub bardziej szczegółowo

(3a)    Af{x o) =f(x₀+Ax)-/(x₀) xf'(x₀)Ax

z dokładnością do nieskończenie małej rzędu wyższego niż Ax. Oznacza to [62], że błąd względny tej równości staje się dowolnie mały przy dostatecznie małym Ax.

Rozpatrzmy prosty przykład: Niech y=x³, wtedy

A y = (*0 + dx)³ — Xq = 3*0 Ax + 3x₀ A x² + Ax³,

i częścią liniową Ay (jak to stwierdziliśmy wyżej w postaci ogólnej) jest rzeczywiście różniczka dy=3x%Ax=y'_xAx. Weźmy na przykład konkretnie x₀=2,3; jeśli wziąć Ax=0,l, to będziemy mieli Ay—(2,4)³—(2,3)³ = 1,657 i <fy = 3-(2,3)²-0,l = 1,587, tak że błąd wynikający z zastąpienia pierwszej liczby przez drugą wyniesie 0,070, a błąd względny przewyższy 4%. Przy Ax=0,0l otrzymamy Ay=0,159391 i rfy=0,1587, co daje błąd względny mniejszy już niż 0,5%; przy /fx=0,001 błąd względny będzie niniejszy niż 0,05% itd.

Podobną okoliczność możemy zaobserwować bezpośrednio na rys. 44 dającym interpretację geometryczną różniczki. Na wykresie widać, że przy zmniejszaniu Ax możemy rzeczywiście z coraz większą dokładnością względną zastępować przyrost rzędnej na krzywej przez przyrost rzędnej na stycznej.

Korzyść wynikająca z zamiany przyrostu funkcji Ay na jej różniczkę dy polega, rzecz jasna, na tym, że dy zależy od Ax liniowo, podczas gdy Ay jest zwykle bardziej skomplikowaną funkcją Ax.

Jeśli przyjmiemy, że Ax=x—x₀, skąd x₀+Ax—x, to równość (3a) przybierze postać

f(x) -/(* o) «/'(* o) (* - *o) lub

f(x) */(x₀) +f'(x₀) (x - x₀).

Na mocy tego wzoru funkcję /(x) można dla wartości x bliskich x₀ zastąpić w przybliżeniu funkcją liniową. Geometrycznie odpowiada to zastąpieniu łuku krzywej y—f(x)