0209

210

III. Pochodne i różniczki

120. Niezachowywanie niezmienniczości wzoru na różniczkę wyższych rzędów. Wzór na różniczkę (pierwszą) ma własność niezmienniczości. Powstaje naturalne pytanie, czy podobną własność mają też różniczki wyższych rzędów. Pokażemy na przykład, że już druga różniczka własności tej nie posiada.

Niech więc y =/(*), a x=ę>(t), tak że y można rozpatrywać jako funkcję złożoną zmiennej t: y=f{<p(t)). Jej pierwszą różniczkę względem t można napisać w postaci dy= —y'_xdx, gdzie dx = x\ dt jest funkcją zmiennej t. Obliczmy drugą różniczkę względem t: d²y=d(y'_xdx)=dy'_xdx+y'_xd(dx). Różniczkę dy'_x można obliczyć korzystając znowu z niezmienniczości wzoru na pierwszą różniczkę, w postaci dy'_x=y'_xidx, a więc ostatecznie

(3)    d²y = y_xldx² + y'_xd²x,

podczas gdy dla zmiennej niezależnej x druga różniczka miała postać d²y=y_xidx². Wyrażenie (3) dla d²y jest ogólniejsze: jeśli w szczególności jc jest zmienną niezależną, to d²x=0 i pozostaje tylko pierwszy składnik.

Rozpatrzmy przykład. Niech y = x². wtedy jeśli x jest zmienną niezależną, to

dy=2xdx, d*y=2dx¹.

Niech teraz x=t², wtedy y = i* i

dy=At³ dt, d²y = \2t² dt².

Nowe wyrażenie dla dy możemy otrzymać ze starego przez podstawienie x=t², dx—2tdt. Inaczej jest z d²y. Jeśli wykonamy takie same podstawienia, otrzymamy 8t²dt² zamiast 12t²dt². Jeśli zróżniczkujemy natomiast równość dy = 2xdx względem t rozpatrując x jako funkcję zmiennej t, to podobnie jak w (3) dojdziemy do wzoru

d²y = l dx² + 2x d²x.

Podstawiając tu x=t², dx = 2tdt, d²x = 2dt² otrzymujemy już poprawny wynik 12t²dt².

Tak więc jeśli x przestaje być zmienną niezależną, to różniczka drugiego rzędu d²y wyraża się przez różniczki zmiennej x za pomocą wzoru będącego sumą dwóch składników (3). Dla różniczki trzeciego i wyższych rzędów liczba składników dodatkowych (przy przejściu do nowej zmiennej niezależnej) jeszcze wzrośnie. W związku z tym przy wyrażaniu wyższych pochodnych y'_xi, y'_xl, ... przez różniczki

(4)

y*=

^dll

dx²'

^d2l

dx³’

nie wolno już obliczać różniczek względem dowolnej zmiennej, lecz tylko względem zmiennej x.

121. Różniczkowanie parametryczne. Można zresztą napisać wyrażenie na pochodne względem x również za pomocą różniczek obliczonych względem dowolnej zmiennej f, ale będą one znacznie bardziej skomplikowane. Rozpatrując mianowicie wszystkie różniczki