020

20

1. Zdarzenia i prawdopodobieństwo

że igła przetnie linię?

Aby rozwiązać ten przykład, musimy sprecyzować, co rozumiemy przez określenie „na poliniowaną płaszczyznę rzucamy losowo igłę o danej długości”. W tym celu załóżmy, że linie na płaszczyźnie są ułożone poziomo oraz wprowadźmy oznaczenia: X - odległość dolnego końca igły od najbliższej linii pod igłą, a - kąt między igłą a linią, 0 ^ a < K. Położenie igły jest teraz określone przez parę liczb (x, a). Losowość rzutu na płaszczyznę rozumiemy w tym przykładzie jako umieszczenie punktu (x, a) w prostokącie [0,1] x [0, tt], zgodnie z geometryczną definicją prawdopodobieństwa.

Niech A będzie zdarzeniem polegającym na tym, że igła przetnie linię. Igła przecina linię wtedy, gdy sina > 1 — x, tzn.

A = {(x, a): 0 ^ a < tt, 1 - sina < x < 1} .

Ponieważ pole obszaru spełniającego ten warunek jest równe

n

m(A)

da

1    TT

dx = I sinar/a = 2,

o

I —sin a

0

a pole prostokąta O. jest równe m(Q.) = 7T, więc Pr (A) —2/k.

Symulacje

Jeżeli teraz r₁,r₂,... będzie wylosowanym niezależnie ciągiem punktów z odcinka [0,1], wybranym zgodnie z geometryczną definicją prawdopodobieństwa, to ciąg (rj, 7rr₂), (r₃, ?rr₄),.,. będzie niezależnym ciągiem punktów, każdy z prostokąta [0,1] x [0,7r], wybranym zgodnie z geometryczną definicją prawdopodobieństwa. Niech teraz A_/ będzie zdarzeniem polegającym na tym, że w /-tym rzucie igła przetnie linię. Dokonujemy n rzutów igłą oraz niech n —► ©o. Niech k oznacza liczbę przecięć linii przez igłę w n rzutach. Zgodnie z twierdzeniem 1.2.1 i przyjętymi w nim oznaczeniami, ze wzoru (1.2.1) wynika, że dokonując coraz więcej rzutów, stosunek n/k będzie dążył prawie na pewno do it/2. Dla ustalonego n, iloraz n/k będzie tylko przybliżeniem liczby 7r/2 o losowym błędzie. Oszacowaniem tego błędu zajmiemy się później.

Symulacja igły Buffo na

Symulacja polega na dokonaniu powyższego eksperymentu oraz obliczeniu ilorazu n/k. Gdy punkty r_i są otrzymywane nie z fizycznego eksperymentu, a generowane są na drodze programowej, to taki komputerowy eksperyment daje wygodną i tanią metodę otrzymywania przybliżeń - w wielu przypadkach wygodniejszą od czysto numerycznych obliczeń. Symulacja ta jest realizowana przez program Symulacje.

Przykład ten jednak nie ma praktycznego znaczenia. Wartość liczby tt jest znana z wystarczającą dokładnością, lepszą od możliwej do otrzymania metodą symulacji. Następny przykład może mieć już znaczenie nieco bardziej praktyczne.