0226

przy czym

§ 5. Wzór Taylora

227

_2m + 2

r2m+i(x)=(-l)^m+1cos&c

(2m + 2) !*

a więc

(2m + 2)! '

Na przykład dla wzoru błąd wynosi

cosx w 1--

2

błąd ten będzie na pewno mniejszy powiedzmy od 0,0001 dla x< 0,2213 (»13⁰), itp. Na rys. 52b pokazane są dla porównania wykres funkcji y=cos x i wykresy kolejnych wielomianów

y=l, y= 1 ■

x² x⁴

y = 1---1—,    itd.

*    2    24

Zwracamy uwagę czytelnika na pewien postęp w porówaniu ze wzorami z ustępów 62, 63, 107. Obecnie umiemy oszacować błąd i posiadamy wzory dające dowolną dokładność.

Zauważmy jeszcze, że wzór Taylora jest źródłem wzorów przybliżonych zupełnie innego typu. 4) Jako przykład rozpatrzymy wzór Huygensa dla obliczania przybliżonej długości luku okręgu, gdy łuk ten jest mały w porównaniu z promieniem.

Niech s będzie długością łuku, d — odpowiednią cięciwą, S — cięciwą, odpowiadającą połowie łuku (rys. 53a). Postawimy sobie za zadanie wyrazić s możliwie dokładnie wzorem przybliżonym postaci

s&Ad+Bó,

gdzie A, B są współczynnikami, które należy wyznaczyć.

Jeśli r jest promieniem okręgu, a 2x kątem środkowym odpowiadającym łukowi s, to

<(=2rsinx=2r(x—^x³ + j^ó 0'x^s)    (O<0'<1).

1J»