0218

219

§ 5. Wzór Taylora

3) Analogicznie dla /(x) =cos x :

f^w(x) = cos{x + k-in),

/(0)= 1 , /^(2m)(0) = (-l)^m,    /^(2m-^1,(0) = 0 (m=l,2,...).

Wobec tego (jeśli przyjąć n=2m +1) otrzymujemy

x²    x^A    x^2m

cosx = l---1---...+( —l)^m--\-o(x^2m+1).

2!    4!    (2m)!

4) Rozpatrzmy teraz funkcję potęgową x^m, gdzie m nie jest ani liczbą naturalną, ani zerem. W tym wypadku przy x-»0 albo sama funkcja (jeśli m<0), albo jej pochodne począwszy od pewnego rzędu (gdy n>m) rosną nieograniczenie. Nie wolno więc brać tutaj *0=0.

Weźmiemy x₀ = 1, tj. będziemy rozwijali x^m według potęg x— 1. Można jednak wprowadzić, jak to już wspominaliśmy, jako nową zmienną x— 1; zmienną tę będziemy oznaczali nadal przez x i rozwiniemy funkcję (1 +x)^m według potęg x.

Jak już wiemy [116, 2)]:

f^ik\x) = m(m— l)...(m — k +1)(1 +x)^m-t,

a więc

/(0)= 1 ,    /^(k)(0) = m(m —l)...(m —k+1) .

Rozwinięcie ma postać

„    m(m— 1) ,    m(m— l)...(m — n +1) _    „

(1 +x) = 1 +mx+ —-x² + ... +—-—-^x^B + o(x").

1-2    1 -2-... -n

W szczególności, na przykład dla n=2 i m= — 1, mamy

1 , ,

l+x

\J 1 + X=1 +łx~łx² + o(x²) , 1

= 1 -x + x +o(x ) ,

v/l

1=1—ix + |x² + o(x²) ,

+ x

Pierwsze z tych rozwinięć można otrzymać bardzo łatwo w sposób elementarny; reszta *³

jest tu po prostu równa-. Drugie i trzecie rozwinięcie wymagałyby dłuższych wywodów

(porównaj ustęp 63).

5) Przechodząc do funkcji logarytmicznej ln x, która przy x-> + 0 dąży do —co, wolimy, jak i w poprzednim przykładzie, rozpatrywać funkcję f{x)—ln (1 +x) i rozwijać ją według potęg x.