0224

225

§ 5. Wzór Taylora

przeto na przykład dla x>0 błąd można oszacować w następujący sposób:

'•„Ml

<e

(» + D!

Jeśli w szczególności x = 1, to

1

(n +1)!'

Z podanego wzoru skorzystaliśmy już w ustępie 37 dla przybliżonego obliczenia liczby e, tylko tam oszacowanie reszty otrzymane w inny sposób było dokładniejsze.

2) Biorąc/(x) = sin x otrzymujemy

x² x⁵    , x^2m~^l

sinr»x---1---...+(—1)    -.

3! 5!    (2m — 1)!

W tym przypadku reszta ma kształt

»W =

J2 m+ 1

(2m+ 1) ! Łatwo możemy oszacować błąd

(2m+1)!'

'(2m+1)! ’

Jeśli poprzestaniemy w szczególności na jednym wyrazie i przyjmiemy

sinx«x,

to na to, aby błąd był powiedzmy mniejszy niż 0,001, wystarczy wziąć (przyjmując, że x>0):

ix³ <0,001,

czyli

x <0,1817,

co równa się około 10°. Przy korzystaniu ze wzoru zawierającego dwa wyrazy

sinx«x—£x³

dla osiągnięcia tej samej dokładności wystarczy wziąć już

— <0,001,

120

czyli

x<0,6544(«37°,5);

15 G. M. Ficbtenholz