0233

ROZDZIAŁ IV

BADANIE FUNKCJI ZA POMOCĄ POCHODNYCH

§ 1. Badanie przebiegu funkcji

131. Warunek stałości funkcji. Przy badaniu przebiegu funkcji powstaje przede wszystkim pytanie, przy jakich warunkach funkcja zachowuje w danym przedziale wartość stałą lub zmienia się w nim monotonicznie [57].

Twierdzenie 1. Niech funkcja f(x) określona i ciągła w przedziale SC(^l) ma pochodną skończoną f'(x) wewnątrz tego przedziału. Na to, aby funkcja f(x) była w SC stała, potrzeba i wystarcza, by

f'(x) = 0 wewnątrz SC.

Konieczność warunku jest oczywista: z /(x) = const wynika, że f'(x)=0. Udowodnimy teraz twierdzenie odwrotne.

Dostateczność. Niech będzie spełniony warunek f'{x)=0 wewnątrz SC. Ustalmy pewien punkt x₀ z przedziału SC i weźmy dowolny inny punkt x tego przedziału. Dla przedziału <x₀, x> lub <x, x₀> spełnione są wszystkie założenia twierdzenia Lagrange’a [112], możemy więc napisać

f(x) ~/(x₀) =/'(c) (x - x₀),

gdzie c jest zawarte między x₀ a x, a więc na pewno leży wewnątrz SC. Ale zgodnie z założeniem f'(c) = 0. Znaczy to, że dla wszystkich x jest

/(¹)=/(¹ o) = const

i twierdzenie nasze zostało udowodnione.

W rachunku całkowym ważne zastosowanie będzie miał następujący wynikający stąd prosty

Wniosek. Jeśli dwie funkcje/(x), g(x) określone i ciągłe w przedziale SC mają pochodne skończone f'(x), g'(x) we wnętrzu tego przedziału, przy czym

f'(x) = g’{x) (wewnątrz SC),

Przedział SC może być domknięty lub nie, skończony lub nieskończony.