0267

268

IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych

Przykład 1. W ustępie 136, 2) zbadaliśmy przebieg funkcji

y = sin³*+cos³*;

z pomocą jej pochodnej znaleźliśmy wartości *, dla których funkcja ma ekstrema, obliczyliśmy także same wartości ekstremalne funkcji. Wobec okresowości funkcji ograniczyliśmy zmienność x do przedziału <0, 2n>. Wykres funkcji wystarczy również skonstruować tylko dla tego przedziału.

Teraz musimy znaleźć pierwiastki drugiej pochodnej. Jeśli napiszemy ją w postaci

y"—| (sin x 4 cos *) (sin 2x—~).

to łatwo można dostrzec, że czynnik w pierwszym nawiasie jest równy zeru, gdy x =    * 2,36 i * 5,50,

a drugi — gdy **0,36 (21°), 1,21 (69°), 3,51 (201°) i 4,35 (249°); we wszystkich tych punktach znak y" zmienia się, tak że mamy tu wszędzie przegięcia. Układamy tablicę:

*=0	0,36	0,78	1,21	1,57	2,36	3,14
y=i	0,86	0,71	0,86	1	0	-1
y'—0 maksimum	przegięcie	y'~0 minimum	przegięcie	/ = 0 maksimum	przegięcie	y=o minimum

* = 3,51	3,94	4,35	4,71	5,50	6,28
y= —0,86	-0,71	-0,86	-1	0	1
przegięcie	y'=o maksimum	przegięcie	y' — 0 minimum	przegięcie	y' = 0 maksimum

Według tej tablicy był skonstruowany wykres przedstawiony na rys. 58, str. 245.

Uwaga. Czytelnik powinien wziąć pod uwagę, że w rysunkach zamieszczonych w książce, z. powodu małej skali nie można wykorzystać całkowicie tych dokładnych danych, które otrzymujemy z obliczeń. Zalecamy czytelnikowi wykonanie wszystkich tych rysunków w większej skali. Przykład 2. Rozpatrzmy funkcję

y=sin *+sin 2x.

Jest ona nie tylko okresowa, ale i nieparzysta. Pozwala to na dalsze zwężenie przedziału zmienności x, sprowadzając go do <0, Jt>.

W tym przedziale pochodna

y'=cosx + 2cos2x =4cos² * + cosx-2

jest równa zeru, gdy cos* =-, tj. dla *«0,94 (54°) i 2,57 (147°). Ponieważ druga pochodna

8

y"~ —sin*—4 sin 2x — —sin*(l +8 cos*)

dla pierwszej z wymienionych wartości jest oczywiście ujemna, mamy w tym punkcie maksimum: analogicznie dla drugiej wartości mamy minimum.

Druga pochodna jest równa zeru wraz z sin* dla *=0 lub * = tt*3,14, jak również wraz z czynnikiem w nawiasie dla *« 1,70 (97°), zmieniając we wszystkich tych wypadkach znak (przegięcie).