0281

282

IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych

Istnieje na przykład granica

x + sinx    / sinx\

lim -- lim I 1H--)= 1 ,

x-* + oa    X x~* + oo \ X J

chociaż stosunek pochodnych równy l+cosx nie ma granicy przy x-> + oo.

152. Inne typy nieoznaczoności. Poprzednie twierdzenia dotyczyły nieoznaczoności typu 0/0 i oo/oo.

Jeśli mamy nieoznaczoność typu Ooo, to można ją sprowadzić do postaci 0/0 lub oo/oo i wtedy skorzystać z reguły de L’Hospitala. Niech

Mamy wtedy

lim/(x)=0, lim g(x) = + oo .

*-*a    x-*a

f(x) g(x) =

m

1

9(x)

g(x)

1 '

7w

Drugie z tych wyrażeń przedstawia przy x->a nieoznaczoność typu 0/0, a trzecie — nieoznaczoność typu oo/oo.

Przykład 9. Mamy

1

(uważamy, że fi> 0).

In x

lim (x“lnx)= lim —= lim

*-•+0    x-*+0X    x-*+0

x

-nx

-(1-1

lim —=0

+ O -II

Do postaci 0/0 lub oo/oo można zawsze sprowadzić również wyrażenia nieoznaczone postaci oo-oo. Niech będzie dane wyrażenie /(x)— g(x), przy czym

lim /(x)= + oo ,    lim g (x) = + oo .

x-*a

x-*a

Wtedy można na przykład wykonać następujące przekształcenie sprowadzające to wyrażenie do nieoznaczoności typu 0/0:

1 1

i _g(x) f(x) i i i ■ g(x) f(x) g(x)

Często zresztą możemy osiągnąć to samo prościej. Przykład 10.

(₂    1\ X² cos sin²*

ctg x—r)=lnn-tt-i-»

x )    *-o x sin x

ale

x³ cos² x —sin² x x cos x+sin x x cos x—sin x

x sin x

xsin*x