0241

242

IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych

Jeśli istnieje takie otoczenie, w którym dla x#jc₀ spełniona jest ostra nierówność f(x) <f(x₀)    (albo f(x) >f(x₀j),

to mówimy, że funkcja ma w punkcie x₀ maksimum (minimum) właściwe, w przeciwnym razie mówimy o maksimum (minimum) niewłaściwym.

Jeśli funkcja ma maksima w punktach x₀ i x₁ ,to stosując drugie twierdzenie Weierstrassa [85] do przedziału <x₀, *r> możemy zauważyć, że wartość najmniejszą w tym przedziale funkcja osiąga w pewnym punkcie x₂ między x₀ i x_t i ma tam minimum. Analogicznie między dwoma minimami na pewno znajdzie się maksimum. W tym najprostszym i w praktyce najważniejszym przypadku, gdy funkcja ma w ogóle tylko skończoną liczbę maksimów i minimów, następują one po prostu po sobie na przemian.

Zauważmy, że dla maksimum lub minimum istnieje również łączny termin - ekstremum (*).

Zajmiemy się obecnie zagadnieniem odszukania wszystkich wartości argumentu, w których funkcja osiąga ekstremum. Przy rozwiązaniu tego zagadnienia podstawową rolę odgrywać będzie pochodna.

Załóżmy najpierw, że funkcja f(x) ma w przedziale (a, b) pochodną skończoną. Jeśli w punkcie x₀ funkcja ma ekstremum, to stosując do przedziału (x₀-<5,x₀+<5), o którym mówiliśmy wyżej, twierdzenie Fermata [109], wnosimy, że f'(x_o)=0. Jest to warunek konieczny dla ekstremum. Ekstremum trzeba szukać tylko w tych punktach, w których pochodna równa się zeru; punkty takie nazywamy punktami stacjonarnymi (²).

Nie należy jednak myśleć, że w każdym punkcie stacjonarnym funkcja osiąga ekstremum. Wypowiedziany wyżej warunek konieczny nie jest warunkiem dostatecznym. Widzieliśmy na przykładzie 1) z ustępu 132, że dla funkcji x³ pochodna 3x² jest równa zeru w punkcie *=0, lecz w punkcie tym funkcja nie ma ekstremum, jest ona funkcją rosnącą.

Jeśli rozszerzymy klasę funkcji /(x) i dopuścimy, by w poszczególnych punktach nie istniała obustronna pochodna skończona, to nie jest wykluczone, że ekstremum wypadnie właśnie w jednym z takich punktów — przecież w twierdzeniu Fermata równość /'(x)=0 zachodzi tylko przy założeniu, że istnieje obustronna pochodna skończona. Funkcja x^2li ma na przykład minimum dla x=0, podczas gdy jej lewostronna pochodna w tym punkcie równa się — oo, a prawostronna + oo [101]; również funkcja |x| ma minimum w punkcie x=0, chociaż pochodna jej w tym punkcie w ogóle nie istnieje [100], Punkty zatem, w których nie ma skończonej obustronnej pochodnej, mogą również być punktami, w których funkcja osiąga ekstremum. Ale i w tym wypadku, rzecz jasna, także nie jest zagwarantowane istnienie ekstremum we wszystkich takich punktach. Weźmy na przykład funkcje y=x^lt3 i y=x sin (l/x) (z warunkiem dodatkowym y=0 dla x=0). Pierwsza z nich ma w punkcie x=0 pochodną nieskończoną [101], druga w ogóle nie ma pochodnej, w tym

(‘) Extremum po łacinie oznacza skrajne (tu skrajną wartość).

(^ł) W punktach tych funkcja jak gdyby zatrzymuje się — prędkość jej zmiany [92] staje się równa zeru.