0237

238

IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych

jest rosnąca, gdyż pochodna jej

/'(*)=1 —cos x

jest nieujemna, a jest równa zeru w punktach x=2kn (k=0, ±1, ±2,...).

Przykład 3. By wykazać wreszcie, że pochodna funkcji rosnącej może nawet w przedziale skończonym znikać nieskończenie wiele razy, rozpatrzymy funkcję

i i

sio— — —

f(x)=e ^x * dla *>0,

Oczywiście

/(0)=0.

lim f(x)—0, *-» + 0

a więc dana funkcja jest ciągła również w punkcie x=0. Dla x>0 mamy

„_ni._± /    i \ i

/'(*)=*    * * ^l-cos-|-j>0,

przy czym pochodna ta jest równa zeru dla x=H2kn (k = 1,2,...). Zauważmy, że

l/x

♦0 przy x-++0,

0<f'(x)<2e ~_l/x

skąd również [113]/'(O)=0.

Można podać przykłady funkcji rosnących (malejących), dla których punkty, w których pochodna jest równa zeru, są rozmieszczone w jeszcze bardziej skomplikowany sposób. Podobne jednak wypadki spotyka się rzadko, i dla celów praktycznych korzystamy zwykle z następującego warunku dostatecznego: jeśli f(x)>0 (/'(*)<0) wszędzie z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby wartości x, to funkcja f Qc) jest rosnąca {malejąca).

Warunek ten jest bardzo wygodny w zastosowaniu.

Jako przykład rozpatrzymy funkcję /(*)=( 1 +1 fx)^x dla x>0 i udowodnimy, że funkcja ta rośnie. Wystarczy w tym celu udowodnić, że rośnie jej logarytm

g(x)=lnf($)=x [ln(*+l)—lnx].

Mamy

g'(x)= [ln(*+l)—In x]--•

x+l

Ponieważ według wzoru na przyrosty skończone [112]:

ln(jc+1)—In*=— , gdzie *<£<*+1 C

więc jest g'(x)> 0 i funkcja g(x) rośnie, co było do okazania.

133. Dowód pewnych nierówności. Wyłożony wyżej prosty warunek monotoniczności stosuje się z powodzeniem do dowodów różnych nierówności.

1) Udowodnimy, że dla 0<jc<Jji zachodzi nierówność

2

sin x> - x .

TC