0249

250

IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych

Wyrażenie to jest równe zeru (zakładamy, że 0) tylko w punkcie C o współrzędnych

c    , ■*    1 + y'x .

t=x-y'_x—— ,    n = y-\--—- ,

?x2    y,2

dla punktu tego zagadnienie pozostaje otwarte. Punkt C oddziela na normalnej te punkty P, dla których u"<0 i odległość PM ma maksimum, od tych punktów P, dla których u">0 i odległość ta ma minimum.

Zobaczymy później [243, 253], że ten oddzielający punkt C, leżący na normalnej, jest pod wieloma względami godny uwagi.

138. Wykorzystanie pochodnych wyższych rzędów Widzieliśmy, że jeśli f(x₀)=0 i f”(x_o)>0, to funkcja f(x) osiąga w punkcie jc₀ minimum; jeśli natomiast /'(x_o)=0 i /"(*„) <0, to funkcja ma w tym punkcie maksimum. Przypadek, guy i f'(x_o)=0 i f"(x_o)—0, pozostawiliśmy nie zbadany.

Załóżmy teraz, że funkcja /(x) w punkcie x=.c₀ ma n kolejnych pochodnych, przy czym wszystkie one do (n—l)-ej włącznie są w tym punkcie równe zeru

f'(^xo) —f\^xo) “ • • • ⁼/⁽"^-1 \^xo) ~ 0,

podczas gdy /^<n)(x_o)^0. Rozwiniemy przyrost f{x)—f(x₀) funkcji f(x) według potęg różnicy x—x₀ stosując wzór Taylora z resztą w postaci Peana [124, (10a)]. Ponieważ wszystkie pochodne rzędów niższych niż n są równe zeru w punkcie x₀, przeto

„ , „ , fⁿ\^xo) + <*,

f(x) —f(^xo) —-_r—(x-x₀) .

Wskutek tego, że a-*0 przy x->x₀, dla x dostatecznie bliskich x₀ znak sumy w liczniku będzie taki sam jak znak f⁽ⁿ\x_Q) zarówno dla x<x₀, jak i dla x>x_Q. Rozpatrzmy dwa przypadki.

1° n jest liczbą nieparzystą, n=2k+l. Przy przejściu od wartości x mniejszych niż x₀ do wartości większych niż x₀ wyrażenie (x—Xo)ⁿ zmieni znak na przeciwny, a ponieważ znak pierwszego czynnika pozostaje przy tym bez zmiany, znak różnicy / (jc) —f(x₀) zmieni się. W ten sposób w punkcie x₀ funkcja /(x) nie może mieć ekstremum, gdyż w pobliżu tego punktu przyjmuje zarówno wartości mniejsze jak i większe od f(x₀).

2° n jest liczbą parzystą, n—2.k. W tym wypadku różnica f(x)—f(x₀) nie zmienia znaku przy przejściu od jc mniejszych niż jc₀ do większych, ponieważ (jc—jc_o)^b>0 dla wszystkich jc. Oczywiście w pobliżu x₀ tak z lewej jak i z prawej strony znak różnicy/(jc) -—f(xo) jest taki sam jak znak liczby /⁽ⁿ⁾(jc₀). A więc jeśli /^<n)(jc_o)>0, to /(.c) >/(.r₀) w pobliżu punktu jc₀, funkcja /(jc) ma więc w punkcie x₀ minimum; jeśli natomiast /⁽ⁿ⁾(jCo)<0, to funkcja ma maksimum.

Otrzymujemy stąd następującą regułę:

Jeśli pierwsza z pochodnych nie równych zeru w punkcie jc₀ jest rzędu nieparzystego, funkcja nie ma w punkcie x₀ ani maksimum, ani minimum. Jeśli taką pochodną jest pochodna rzędu parzystego, funkcja ma w punkcie jc₀ maksimum albo minimum w zależności od tego, czy pochodna ta jest ujemna czy dodatnia.