0266

267

§ 3. Konstrukcja wykresów funkcji

Gdy wspomniane punkty są już naniesione (a liczba ich jest zwykle niewielka), wystarcza to już właściwie do skonstruowania wykresu.

Skonstruowany w ten sposób wykres odzwierciedla już dosyć dobrze przebieg funkcji, wyznaczając dokładnie przedziały jej wzrastania i malenia jak również punkty, w których prędkość zmiany funkcji spada do zera (y'=0) lub rośnie do nieskończoności (/= ±oo).

Można osiągnąć jeszcze większą dokładność w konstruowaniu wykresu, jeśli weźmiemy pod uwagę jego wypukłość (wypukłość na dół) lub wklęsłość (wypukłość do góry) w poszczególnych częściach i położenie oddzielających je punktów przegięcia [143, 145].

147. Schemat konstrukcji wykresu. Przykłady. Niech więc funkcja y=f(x) będzie dwukrotnie różniczkowalna w rozpatrywanym przedziale {a, b), z wyjątkiem oddzielnych punktów, w których pochodna y'—f'(x) ma wartość nieskończoną, tego samego znaku z obu stron lub różnych znaków z prawej i z lewej strony.

Wówczas dla skonstruowania wykresu funkcji y=f(x) należy postępować w sposób następujący:

1° wyznaczyć wartości x, dla których pochodna y'=f'(x) jest równa zeru albo nieskończoności i poddać je badaniu na ekstremum;

2° wyznaczyć wartości x, dla których druga pochodna y" =/"(¹) równa jest zeru i poddać je badaniu na przegięcie;

3° obliczyć wartości samej funkcji y=f(x) dla tych wszystkich wartości x, jak również wartości na końcach a i b rozpatrywanego przedziału.

Wyniki wygodnie jest zestawić w postaci tablicy (przykłady patrz niżej), wskazując koniecznie, jaką osobliwość ma dany punkt wykresu: maksimum, minimum, y'= 0, y' = = +oo lub —oo, y'=+oo lub +oo(¹), przegięcie.

Czasami do wymienionych punktów wykresu dołączamy, jeśli chcemy, także inne punkty, na przykład punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych.

Po naniesieniu wszystkich wymienionych punktów prowadzimy przez nie sam wykres, uwzględniając przy tym wszystkie znalezione osobliwości.

Mamy tu na myśli oczywiście najczęstszy w praktyce konstruowania wykresów przypadek, gdy pierwsza pochodna przybiera wartość 0 albo ±oo, a druga pochodna wartość 0 tylko w skończonej liczbie punktów. Wtedy w przedziałach między nimi wykres biegnie stale do góry, albo stale na dół, a także wypukłość skierowana jest albo na dół, albo do góry.

Obliczenia i przeprowadzenie krzywej upraszczają się, jeśli funkcja nie zmienia swej wartości przy zmianie znaku ¹ (funkcja parzysta), tak że wykres jej jest symetryczny względem osi pionowej. Podobne uproszczenie daje również symetria względem początku współrzędnych, która wyraża się analitycznie tym, że funkcja przy zmianie znaku x również zmienia tylko znak (funkcja nieparzysta).

1

W ten sposób będziemy oznaczali umownie fakt, że pochodna z lewej strony jest +oo, a z prawej — oo, lub na odwrót.