0275

276

IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych

W wypadku, gdy jednocześnie f'(a)=0, g'{a)=0, można skorzystać z następującego uogólnienia twierdzenia 1 prowadzącego do rozpatrzenia pochodnych wyższych rzędów.

Twierdzenie 2. Niech: 1) funkcje f (x) i g(x) będą określone w przedziale (a, by, 2) lim/(x)=0, lim g(x)=0, 3) w przedziale <a, by istnieją pochodne skończone wszyst-

x-*a    x-*a

kich rzędów do (n—1) włącznie: f'(x),f"(x), ... ,f⁽ⁿ~ ^ł)(jc); g'(x), g"(x), . .., gⁱⁿ~¹⁾(x), 4) dla x = a wszystkie one są równe 0, 5) istnieją pochodne skończone f⁽ⁿ\a) i g^M(a), przy czym g^<n)(a)ź 0. Wtedy

.. /(*) /°» f\aY

Dowód. Zastosujemy względem każdej z funkcji f(x), g(x) w przedziale <a, x) («< <x<6) wzór Taylora z resztą w postaci Peana (patrz ustęp 124, (10a)). Na mocy 2), 3) i 4) otrzymamy

/« =

f^M(a) + a «!

(x~aT.

gⁱⁿ⁾(a) + P 9{*) =--r—

gdzie a i /? dążą do zera, gdy x->a.

Druga z tych równości, wskutek warunku g^M(a)ź 0, pokazuje przede wszystkim, że g(x) jest różne od zera przynajmniej dla wartości x dostatecznie bliskich a. Jeśli ograniczymy się do tych wartości, to stosunek f(x)/g(x) ma sens.

Wtedy z napisanych równości wynika bezpośrednio to, co chcieliśmy otrzymać, a mianowicie

./(*)    /⁽*^ł(fl) + «_/^W(fl)

ZgVx) Zg<''(a) + f} g⁽ⁿ⁾(a)'

Przykład 3. Znaleźć granicę

X    -I A

Mamy tu

lim

f(x) = e^x — e -	~2x ,	O T o
f'(x)=e* +e *■	-2 ,	o II o
f"(x)=e^x-e-^x	.	/"(0) = 0
f"(x) = e^x+e~^x		/"'(0) = 2

g (x)=x — sin x , g'(x) = \ — cos*, gr"(jc) = sin x , g"’(x)—cosx,

Tak więc szukana granica jest równa 2.

e — e —2x x—sin x

gr (0)=0 ;

5f'(0)=0 ;

g"(0)=0 ; sr'"(0)=l .

Chociaż w większości przypadków do obliczenia nieoznaczoności typu 0/0 wystarczają już udowodnione twierdzenia, w praktyce bywa zwykle wygodniejsze następujące: Twierdzenie 3. Niech: 1) funkcje f(x) i g(x) będą określone w przedziale (a, by, 2) lim / (x)=0, lim g(x) = 0, 3) w przedziale {a, by istnieją pochodne skończone f(x) i g'(x),