0302

303

§ 1. Pojęcia podstawowe

Nazwiemy punktem n-wymiarowym układ n liczb rzeczywistych M=(x_t, x₂, ■■■, x_n)(¹). Same liczby x_l7x₂, ■■■, x„ są współrzędnymi tego punktu M. Zbiór wszelkich możliwych punktów n-wymiarowych tworzy przestrzeń n-wymiarową, którą nazywają czasami arytmetyczną przestrzenią n-wymiarową.

Jest rzeczą pożyteczną, wprowadzenie pojęcia odległości MM' między dwoma punktami n-wymiarowymi

M(x_t, x₂, ■■■, x„) i M'(x'_l, x'₂, u., x').

Naśladując wzór znany z geometrii analitycznej przyjmujemy

(1)

t, (*'i ~ ^xi>² = ^(^x’i ~ ^xi f + (x₂ - x₂f +... + (x'„ - x„)² ;

i=i

gdy n=2 lub 3, odległość ta pokrywa się ze zwykłą odległością między dwoma odpowiednimi punktami geometrycznymi.

Jeśli wziąć jeszcze jeden punkt

M"=(x    .....*;),

to, jak można udowodnić, dla odległości MM', M'M" i MM" spełniona jest nierówność

(2) +

przypominająca znane twierdzenie geometrii, które orzeka, że bok trójkąta nie przewyższa sumy dwóch pozostałych boków.

Rzeczywiście, dla dowolnie wybranych liczb rzeczywistych a_l7a₂, ...,a_nib_l,b₂, ...,b_n zachodzi nierówność

0) Mając do czynienia z nieokreśloną liczbą zmiennych wygodniej jest nie oznaczać ich różnymi literami, lecz jedną i tą samą literą tylko z różnymi wskaźnikami. Tak więc x, oznacza (w przeciwieństwie do poprzedniego zwyczaju) nie i-tą wartość pewnej zmiennej, lecz i-tą zmienną, która sama przyjmuje różne wartości.

(²) Nierówność ta nie jest niczym innym, jak szczególnym przypadkiem spotkanej już przez nas nierówności Minkowskiego [133 (7)] dla k=2. Jeśli podnieść obie jej strony do kwadratu i odrzucić po obu stronach równe wyrazy, sprowadzi się ona do znanej nam już także nierówności Cauchy’ego [133 (5a)]. Przytoczymy zupełnie elementarny dowód tej ostatniej nierówności, a wraz z tym także i nierówności podanej w tekście.

Trójmian kwadratowy

£ (o,x+b,f = jr afx² + 2 £ a,b,x + £ 6?

i=i    i=i    1=1    i=i

nie może przybierać wartości ujemnych. Wobec tego nie może on mieć pierwiastków rzeczywistych różnych i jego wyróżnik musi być nieujemny, czyli

E«<²Ź⁶?-{E^a‘M²<°,

( = 1    1=1    (e 1

co jest równoznaczne z nierównością Cauchy’ego.