5469091780

1 Pojęcia podstawowe

Zbiór liczb zespolonych C = {z = x + iy : x, y € K} można utożsamiać z płaszczyzną dwuwymiarową, którą będziemy oznaczać symbolem C i nazywać płaszczyzną zespoloną otwartą.

Aby zdefiniować jej domknięcie podamy najpierw definicję przekształcenia zwanego rzutem stereograficznym.

1.1 Rzut stereograficzny

W przestrzeni R³ definiujemy sferę x² + y² + (2 — i)² = | o środku w punkcie (xo, y₀, z₀) =

(0,0, |) i promieniu r = |, styczną do płaszczyzny układu OXY w początku układu współrzędnych. Punkt N = (0,0,1) € S² nazywać będziemy biegunem północnym sfery.

Konstrukcja rzutu stereograficznego

Każdemu punktowi 2 = x + iy G C przyporządkujemy punkt Z(£, r], £) 6 S²\ {N} będący punktem przecięcia odcinka łączącego punkt z € C z punktem N.

Definicja 1.1

Odwzorowanie

P : C z => Z € S²\ {N}, z = x + ń/=> Z = ((,n,Q,

gdzie

; = —l_, „₌ y , _c= -ML

⁵    1 + |z²|    ' l + \z²\ ^S 1 + 12*1-

nazywamy rzutem stereograficznym.

Uwaga 1.1

Rzut stereograficzny posiada przekształcenie odwrotne

P-¹ : S² \ {N} => C, Z = (^77,0 =^z = x + iy, zdefiniowane wzorem a; — y^7, y —

Zatem rzut stereograficzny jest bijekcją między płaszczyzną otwartą C i sferą bez bieguna północnego, któremu nie odpowiada żaden punkt na płaszczyźnie.

5