040

40

2. Zmienne losowe

Zadanie 2.2.17*.

Przy transmisji n bitów dodajemy jeszcze jeden bit tak, aby liczba wszystkich jedynek była parzysta. Błąd wykryjemy, jeśli liczba odebranych jedynek będzie nieparzysta. Obliczyć prawdopodobieństwo niewykrycia błędu, gdy prawdopodobieństwo przekłamania wynosi 10 ⁶, a n = 10⁵. Zakładamy, że przekłamania są niezależne.

Zadanie 2.2.18.

Gra polega na zarzucaniu krążków na kołek. Gracz otrzymuje sześć krążków i rzuca je aż do pierwszego celnego rzutu. Znaleźć prawdopodobieństwo, że po zarzuceniu krążka na kołek zostanie graczowi co najmniej jeden krążek, jeżeli prawdopodobieństwo trafienia na kołek przy każdym rzucie jest równe 0.1.

Zadanie 2.2.19.

Z taśmy produkcyjnej schodzą przedmioty wyprodukowane niezależnie od siebie. Przedmiot zły może zostać wyprodukowany z prawdopodobieństwem p, a dobry z prawdopodobieństwem q = 1 — p. Jeżeli na taśmie pojawi się k-ty przedmiot zły, to natychmiast zatrzymujemy taśmę. Znaleźć rozkład liczby N wyprodukowanych przedmiotów do chwili zatrzymania taśmy.

Zadanie 2.2.20.

Niech X oznacza czas oczekiwania na wyrzucenie szóstki przy rzucie kostką. Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Obliczyć prawdopodobieństwo, że szóstkę wyrzucimy po raz pierwszy:

a)    dokładnie w dziesiątym rzucie,

b)    najpóźniej w dziesiątym rzucie,

c)    nie wcześniej, niż w jedenastym rzucie.

Zadanie 2.2.21.

Urna zawiera n różnych kul. Losujemy kolejne kule ze zwracaniem, aż do momentu otrzymania uprzednio wyciągniętej. Niech X oznacza liczbę losowań. Znaleźć rozkład zmiennej losowej X.

Zadanie 2.2.22.

Gracz wyciąga z talii dwie karty. Jeśli są to 2 asy, to wygrywa 20 zł, jeśli dwie z pozostałych figur (król, dama, walet), to wygrywa 10 zł. W każdym pozostałym przypadku gracz płaci 2 zł. Niech X oznacza wygraną gracza. Znaleźć rozkład i dystrybuantę zmiennej losowej X.

Zadanie 2.2.23.

Z partii 100 przedmiotów, wśród których jest 10 wykonanych wadliwie, wybrano losowo bez zwracania 5 sztuk. Niech X oznacza liczbę sztuk wadliwych w próbie. Znaleźć rozkład zmiennej losowej X i naszkicować jej dystrybuantę.