040

40

2. Zmienne losowe

Dowód. Ze wzoru (2.2.10) wynika, że

D²X = E (x² — 2XEX + (EX)²^) = E (x² — 2m_xX + m²) . Następnie z twierdzenia 2.2.2 wynika, że

D²X = EX² — 2m j EX + m\ = m₂ — 2m² 4- m² = m₂ — m² .

□

Uwaga. Z faktu 2.2.3 wynika, że jeżeli zmienna losowa X ma momenty zwykle rzędu co najmniej drugiego, to wariancja istnieje.

Fakt 2.2.4.

Wariancja

stałej

D X = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy zmienna losowa X przyjmuje wartość stałą z prawdopodobieństwem 7, to znaczy, gdy Pr(X — jc₀) = 1 dla pewnej wartości

%

Dowód. Jeżeli zmienna losowa X jest stała i przyjmuje wartość jc₀, tzn. Pr(X = ;c₀) = 1, to m_{ — jc₀ oraz m₂ = Xq, a więc D²X = 0. Z drugiej strony, jeśli D²X ^ 0, to oczywiście D²X > 0.

Przypuśćmy, że D²X — 0, a równocześnie Pr(X =jc₀) < 1. Ze wzoru (2.2.10) otrzymujemy

DO

cr² — D²X = I (.x — m)²dF(x) ^ 0,

— co

gdyż (x — m )²>0, przy czym a² — 0 tylko wtedy, gdy funkcja podcałkowa jest tożsamościowo równa zeru (co nie jest prawdą) albo, gdy tylko w punkcie A'₀ = m dystrybuanta F ma skok równy 1, czyli F(x+) - F(x₀) — 1 = Pr(X =

*o)-    ^D

Jeśli Pr(X = a) = 1, to X i dowolna zmienna losowa Y są niezależne, (por. zadanie 2.1.12). Stąd D² (X + a) - D²X.

Uwaga. Jeśli EX nie istnieje, to w pewnych zastosowaniach jej odpowiednikiem może być mediana Me, będącą kwantylem rzędu p — 1/2 zmiennej losowej X. Na ogół jednak Me / EX, nawet wtedy, gdy EX istnieje.

Do wskaźników rozrzutu zmiennej losowej oprócz wariancji, a także średniego odchylenia standardowego zalicza się też odchylenie ćwiartkowe Q = (^2/ą ” Ź\/ą)/2> które może zastępować dyspersję wtedy, gdy nie istnieje drugi moment.