267 (40)

METODY ROZWIĄZYWANIA WIELKICH UKŁADÓW LINIOWYCH... 10.4/267

Dowód

łicrówność lewostronna wynika z twierdzenia 10.11 i lematu 10.2. Aby otrzymać erówność prawostronną rozpatrzymy wyrażenie (10.43). Kładąc w nim v — u trzymujemy na podstawie (10.140)

2

¹ ^ JE ^/łi (?» £ & ⁵ (^x»² + c (*)(“ (*))*)

ąd uwzględniając, że

k>WN-²2 ((«(x»²+(tt(r; X))²)

«    hi

mamy nierówność prawostronną (10.141).    □

Sprawdziliśmy więc założenia (10.134). Norma operatora przejścia w cyklu wibracyjnym szacuje się w tym przypadku następująco (zob. (10.137)):

nr.j<_a[j£-;fe)

\ yc_x + h y ro /

Z tej nierówności wynika, że aby znaleźć rozwiązanie z dokładnością « > 0, leży wykonać n cykli, gdzie n jest rzędu [-. Ponieważ koszt każdego cyklu

"est rzędu m/h², to koszt całkowity jest rzędu zw/ń³ działań arytmetycznych.

Przechodzimy teraz do rozpatrzenia przypadku, gdy w metodzie (10.133) za B przyjmuje się różnicową aproksymację operatora - 1. Dokładniej, B — B_k jest operatorem przekształcającym I² (fi*) w L\ (fi_h) postaci (zob. (10.44)),

2

(B_k v) (x) - - d_Ł d_Ł v (x), x e fi*    (10.142)

i-i

gdzie v (x) = 0 dla x e f*.

Lemat 10.13

Przy założeniach lematu 10.12 mamy

7o*a<4<7t*»    (10.143)

- *

gdzie y, = max {7,. max |c (x)J}, y_f zaś są stałymi z warunku (10.140).    ■

X

Dowód

Dowód nierówności wynika z wyrażenia (10.43). Przyjmując w nim v = u mamy

2

/ =    h₂ (0.5    a,/*) ((^1" (x))² +(ć, i/i»)²) + c (w (x))²)

Stąd, wykorzystując nierówności (10.140) i (10.46), otrzymujemy (10.143). q