269 (42)

; METODY ROZWIĄZYWANIA WIELKICH UKŁADÓW LINIOWYCH... 10.4/269

krok iteracji .sprowadza się do rozwiązywania dwóch układów z macierzami trójkątnymi (E+cjRW). Pełniejsze informacje o tej metodzie, którą często nazywa się metodą faktoryzacji, Czytelnik może znaleźć w książce [95].

Na zakończenie podamy kilka uwag.

Liczbę iteracji w cyklu ustalamy w zależności od tego, z jaką dokładnością £ mamy wyznaczyć rozwiązanie. Najczęściej proces iteracyjny przerywamy wtedy, gd y rozwiązania otrzymane z dwóch kolejnych cykli różnią się w normie o nic ięcej niż £. (Niekiedy za kryterium kończenia przyjmuje się błąd residualny, n. M/-/I < e, por. p. 6.8).

Omówiliśmy tutaj metodę Czebyszcwa dla zadania różnicowego. Z powodzeniem może być on3 wykorzystana do układów powstałych w MES. Z opera-rcm B — Emetodą Czebyszewa daje się rozwiązać układy otrzymane w różnych ariantaeh MES rozpatrywanych w p. 10.3.5 (przy b_; = 0). Dla pewnych obszarów' i przy pewnych podziałach <2 na elementy e, za B możemy przyjąć różnicową aproksymację operatora — A. Czytelników- interesujących się tą tematyką odsyłamy do [19] i książki [64].

Dwupimktowa metoda Czebyszewa (zwykła) jest przedstawiona w p. 6.8.3. Jej uogólniona postać jest następująca:

By^k+^l = y_k+i 5/+(l-A₊₁)B/-^,-z_fcłl y_t+l(.4/-/) gdzie y_k, o,; są parametrami iteracyjnymi.

Metody tej nie rozpatrywaliśmy tutaj. Dodajmy tylko, że dla zadania (10.138) za B możemy przyjąć podane wyżej operatory. Pewną w'adą metody dwupunktowej w porównaniu z metodą jednopunktową jest konieczność pamiętania przybliżeń z dwóch kroków iteracyjnych.

Przy rozpatrywaniu powyższych metod wymagaliśmy, aby operator A był samosprzężony. Pewne uogólnienia na układy z macierzą niesymetryczną można znaleźć w pracach [70] i [95].

W tym punkcie nie rozważaliśmy także tzw. metod wariacyjnych {sprzężonych gradientów, minimalnych residuów itd). Dla pewnych zadań mogą one okazać się przydatne np. w przypadku gdy nie znamy oszacowania spektrum operatorami albo wtedy, gdy posiadane oszacowania są nierealistyczne. Polecamy Czytelnikom książki [72], [95] i pracę [133].

Nic omawialiśmy również pewnych specjalnych metod. np. metody naprzemiennych kierunków (ADI). Wydaje się, że obecnie A DI jako metoda itera--7jna jest mniej przydatna. Dla zadań, dla których metoda ADI została zbadana, fioźemy stosować skończone szybkie metody, np. z p. 10.4.3.

Pominęliśmy również tzw. metodo Fiedorenk i -Bach wało wa. Jest ona oparta ^na przechodzeniu” od siatek gęstszych do rzadszych, co stwarza pewne trudności |rzy jej zastosowaniu. Koszt tej metody jest bliski optymalnemu. Ostatnio często ponujc się stosowanie metody Fiedorenki-Bachwałow-a także do rozwiązy-ia układów powstałych w MES (zob. np. prace [43], [80], [82]).