253 (44)

r DY ROZWIĄZYWANIA WIELKICH UKŁADÓW LINIOWYCH... io.4/253

Przekształćmy układ (10.119) mnożąc poszczególne jego równania przez pacierz P. Korzystając z jej własności i oznaczając

V_t = Pa ,, F; = Pf \ mujemy układ

- -^2    (    ) V - ~jj2 ^<+1 ⁼    * = -»•••, *v -2

r

Układ (10.119) sprowadza się więc do M- 1 układów równań z macierzami trój-diagonalnymi. Dla / = I,..., M— 1 są one następującej postaci:

—k^V-^+{i*^)^V»-SrV^-F»:

frlT Ł'k-2J+    } ^Ł.V-U ⁼ Fv-,J

i = 2, iY—2 (10.120a)

Układy te rozwiązujemy algorytmem (10.116) z p. 10.4.2. Należy przedtem wyznaczyć wartości f^/F, = ?/,) równe

(10.120b)

r~ 1

Wielkości tc obliczamy algorytmem przedstawionym w p. 2.6.2, tzw. szybkimi przekształceniami Fouriera (FFT).

Rozwiązanie u_tJ wyznaczamy ze wzoru

K-l    -----

^u“ ⁼ E ^L'" ]/ ii ^sin M    (10.120C)

r«l

^tc* wykorzystując FFT.

Widzimy, żc rozpatrywany algorytm składa się z trzech części

(1)    obliczamy ze wzoru (10.120b),

(2)    rozwiązujemy układy (10.120a),

(3)    obliczamy u_tJ ze wzoru (10.120c).

ijmy koszt tego algorytmu. Rozwiązanie Af - I układów (I0.120a) z macierzą ijdiagonalną wymiaru (A — 1) x(Jf— 1) algorytmem (10.116) kosztuje rzędu (Af — ]) x (JV— 1) działań arytmetycznych, natomiast koszt stosowania FFT dla