261 (41)

j/fc-TODY ROZWIĄZYWANIA WIELKICH UKŁADÓW LINIOWYCH... 10.4/261

			^1
		•

JUS 10.25    RYS. 10.26

to eliminacja niewiadomych zc zbioru {3}. Kolejność eliminacji niewiadomych w poszczególnych zbiorach jest dowolna.

W ten sposób wyznaczamy rozkład trójkątny macierzy A = LDL\ gdzie L ysl macierzą dolną trójkątną a D diagonalną. Stąd już łatwo wyznaczyć rozwiązanie u_hi].

Uogólnijmy opisane postępowanie na przypadek dowolnej liczby węzłów. Załóżmy dla uproszczenia, że i m₂ są równe m i dają się przedstawić w postaci ni = 2". Wprowadzamy dla $ = J.funkcję    (ar) = p+ 1 jeśli

s- 2^p(2q+ I), gdzie q i p są liczbami całkowitymi nieujemnymi. Nadto przyjmujemy, żc tc(0)= 1, t. (m) = 1. Przy pomocy tej funkcji niewiadome u_hiJ (węzły) pogrupujemy w zbiory P»k= 1.2,...,* przyjmując, żc

P« = Kr/ niax (tc (i), r (J)) = Ic}

W poprzednio omówionym przykładzie z>»_Ł =    = 7, zaś zbiory P_u P₂

>Ps zawierają odpowiednio węzły z numerami I, 2 i 3 (zob. rys. 10.24).

Po klasyfikacji węzłów, niewiadome eliminujemy tak jak wyżej. Najpierw' •’o zbioru P_x (w jakimś porządku), następnie ze zbioruP₂*^{a na} końcu ze zbioru P_k.

Przedstawionym algorytmem rozkład LDL^T macierzy A rozpatrywanego układu wymaga rzędu A'³ działań, zaś zapamiętanie niezerowych elementów macierzy L—jV²Iog₂A' miejsc pamięci. Dla porównania algorytm Cholesky’ego-•hanachiewicza dla tego zadania wymaga A'⁴ działań i N³ miejsc pamięci. Algo-Sto Georgc’a jako szczególny przypadek algorytmu Cholcsky’ego-Banachiewicza jest numerycznie poprawmy [124].

Z powyższych charakterystyk widać, że rozwiązywanie tego szczególnego ^Jkładu algorytmem Gcorgc’a nie jest najtańsze. Ustępuje on algorytmowi

10.4.3, który może być również wykorzystany do rozwiązywania zadania U0.128), por. np. z artykułem [2]. Podkreślmy, źe w algorytmie Gcorge’a nie jest jwZasadzie istotny kształt obszaru. Algorytm ten możr.a stosować do ogólniejszych ^^daó (zmienne współczynniki, mieszane pochodne). Szczególnie przydatny jest dla układów’ różniących się tylko prawymi stronami, np. w zadaniach parabolicznych (por. p. 10.2.8). Dodajmy, żc algorytm George’a jest najszybszy znanych bezpośrednich algorytmów' dla ogólnej klasy układów metod różni-fitorych I MES.