263 (41)

ODY ROZWIĄZYWANIA WIELKICH UKŁADÓW LINIOWYCH...

id ą/263

są mniejsze co do modułu od jedności. Jest to warunek konieczny i dostateczny zbieżności (zob. p. 6.8.1). Będziemy dalej posługiwać się warunkiem dostatecznym badając czy norma operatora przejścia jest mniejsza od jedności. Wyznaczmy operator przejścia w metodzie cyklicznej (10.131). Wystarczy podać go dla pierw-zego cyklu (p = 0). Niech z* = }*—y, gdzie y jest rozwiązaniem równania 10.129). Podstawiając y^k = z*+y do (10.131) otrzymujemy

t

2^t+1 = (£—Ofc+i B-‘A) ? = nB~‘A) z»

I-O

Stąd perator przejścia P_m \v cyklu ma postać

m

K =1 ](£-*, B~'A)

Kryteria oceny metod iteracyjnych są w zasadzie takie same jak metod skończonych (zob. 10.4.1). Z tym, że koszt metody iteracyjnej zależy od dokładności s, i. jaką chcemy policzyć rozwiązanie. Wyznaczenie rozwiązania z dokładnością s oznacza spełnienie warunku

(10.132)

Metody iteracyjne oceniamy zatem na podstawie

(1)    szybkości zbieżności: ile należy wykonać iteracji, aby błąd początkowy I v₀—,vzmniejszyć 1/e razy,

(2)    kosztu realizacji jednego kroku iteracyjnego.

Z nierówności (10.132) wynika, żc wyznaczenie rozwiązania z dokładnością £ :tcdą iteracyjną (10.131) z operatorem przejścia P_m wymaga n cykli, gdzie n pst określone nierównością

In (1/e)

In I!P_m\~^l

Przechodzimy do przedstawienia metody jednopunktowej Czebyszewa. Jzpatrujemy metodę iteracyjną (10.131) z B_k = B:

B/^+t    k = 0,1.2,...; y*eH    (10.133)

Metodę tę dla zadania (10.129) będziemy rozw ażać przy następujących założeniach:

(10.134)

/!=/<* >0, B = B* > 0

<5₀ B < A < <5, B ,    0 < <$₀ < S_t

jEdzie nierówności operatorowe są rozumiane w sensie iloczynu skalarnego J(żob. p. 10.2.6). Metodę (10.133) traktujemy jako cykliczną z cyklem zawierającym iw iteracji. Zbieżność jej będziemy badać w przestrzeni energetycznej li_B generowanej przez operator B = B* > 0 z iloczynem skalarnym i normą

(u, v)_B = (Bu, v)_u ,    Kii fi = (Bu, u)_a