0425

426

VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania

Oznaczmy teraz przez y_x, y°,..., y° wartości tych funkcji w punkcie M₀. Na podstawie twierdzenia IV z ustępu 208 w pewnym (n+fi)-wymiarowym prostopadłościanie

(23)    ^T₀=(x?-5₁,x? + 5₁; ... ;x°-<5„, x? + <5₍₁; y?-d_x, y?+d_x;...;    y°+ d„)

pierwsze n z równań (17):

			•.*«)-.Vj=0,
(24)	/z(xx, ••	* J 1 » * •	•^»)-ya=0.
	/„(*i> ••	* i Xfl ł + 1 » * *	■^n)-y/.^=0

określają x_x, x₂, ..., x„ jako jednoznaczne funkcje pozostałych zmiennych y_t, ..., y„, x_(I+x„ występujących w tych równaniach:

xi = 9i(yi, —•••>*«)»

(25)

^=^1. • • • ’ y fi* Xfi+i j • * • j ^ii) >

= <Pn(y i, ■ • • > yn > x_fl+x,..., x„).

W obszarze (23) układy równań (24) i (25) są całkowicie równoważne, tzn. są spełnione przez te same wartości zmiennych x_x, x₂, ..., x„ i y_x, y₂, ..., y„. Z twierdzenia, na które powołaliśmy się, wynika, że jeśli zamiast x_x, x₂, ..., x„ podstawimy w (24) funkcje (25), to otrzymamy tożsamości względem y_x, ..., y„, x„₊₁, ..., x„. Dla nas jest jednak ważniejsze, że jest też i na odwrót: jeżeli zamiast y_x, y₂, ..., y„ podstawimy w (25) funkcje fii fii • ••,/„, to otrzymamy tożsamości względem zmiennych x_x, x₂, ..., x_n, przynajmniej w pewnym otoczeniu punktu M₀(x_x, x₂, ..., x°). Mianowicie, wystarczy wybrać takie otoczenie

;x°-ó;,x°+ó;),

żeby było

3o = (*?-S;.*? + «i \xl-d'₂,xl + 8'₂-, 0<ó_x<ó_x, 0<<5₂s$<5₂,

i żeby przy tym w punktach tego otoczenia wartości y_x, y₂, ..., y„ wyznaczone z (24), to znaczy wartości funkcji /_x, f₂, ...,/„, różniły się od y _x, y°, ..., y ° o mniej niż zf _x, A ₂, ...,    (*). Wówczas bowiem punkt (x_x, x₂.....x„, y_x, y₂.....y„) leży w J(₀ i wraz z rów

naniami (24) muszą być też spełnione równania (25).

Weźmy teraz (jeżeli m>n) dowolną z pozostałych funkcji (17), na przykład y„ _{+ 1}. Pokażemy, że zależy ona od pierwszych n funkcji y_x, y₂, ..., y„.

Jeżeli w równaniu y_ll+ x =/„+_x(x_x, x₂, ..., x„) wstawimy zamiast x_x, x₂, ..., x„ funkcje (25), toy_M+x stanie się funkcją złożoną zmiennych y_x, ...,y„, x₍₁₊₁,..., x„:

(26)

> ^n) >

yn+1 fn+i(^i(j^i> • ••> y_M>Xfi+_x, •• *,x_n),..., tpj.y_x, *• • ty^5x_ll+x,

—F/i+i(yi > • • • > y^ i x_fl+x,..., x„).

(‘) Można to zrobić, bo funkcje /, ,/₂,    przybierające w punkcie Af₀ wartości y?, y°,...,    ,

są ciągłe.