0435

436

VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania

220. Metoda obliczania różniczek. Pokażemy teraz inną metodę wyrażania starych pochodnych przez nowe, bardzo wygodną zwłaszcza wtedy, gdy w wyrażeniu W występują nie poszczególne pochodne, lecz wszystkie pochodne danego rzędu. Jest to metoda obliczania różniczek zupełnych. Może być ona także przedstawiona w dwu wariantach w zależności od tego, czy jako zmienne niezależne traktujemy t i u czy x i y.

Zaczniemy od metody wprost, a więc zmiennymi niezależnymi będą t i u \ wszystkie różniczki będziemy brali względem tych zmiennych. Biorąc różniczki obu stron wzorów (12) otrzymujemy równania, z których możemy wyrazić dx i dy liniowo przez dt i du:

(13)

dx=adt + P du,    dy = ydt + ddu.

Stąd przez różniczkowanie możemy obliczyć d¹x i d¹y. Różniczki te będą miały postać wielomianów jednorodnych drugiego stopnia względem dt i du

(14)    d¹x=e dt¹+ą dtdu + r/ du¹,    d¹y — 8dt¹ + idtdu-rndu¹.

Różniczkując po raz trzeci znajdujemy różniczki rzędu trzeciego itd. Współczynniki a, j8,    są

znanymi funkcjami x, y, t i u.

dz    dz

-— dt-1---du.

dt    du

Przedstawimy teraz dz dwoma sposobami korzystając z niezmienniczości wzoru na pierwszą różniczkę

oz    oz

(15)    dz = —dx^J\----dy =

dx    dy

Jeżeli zamiast dx i dy podstawimy tu wyrażenia (13) i przyrównamy współczynniki przy dt i du po obu stronach otrzymanego równania(‘), to dostaniemy równania liniowe

dz    dz    dz    , dz    dz    dz

a ——|- y — — —    i p----r ó — — —»

dx    dy    dt    dx    dy    du

z których obliczamy pochodne dzldx i dz/dy.

Analogicznie przedstawiamy dwojako d¹z pamiętając przy tym, że zmiennymi niezależnymi nie są x i y, lecz t i u:

(16)

₂ dz ,    3¹ z    3 z , dz , dz ,

d z——dx -f2 - dxdy - -- _; dy1 Ą----d¹x-i---ci y

dx    dxdy    dy    dx    dy

li    *2    ₀2

OZ _f 2 O Z    Ćz ,

—5- dt +2 —— dtdu-1---- du~.

dt    dtdu    du1

Podstawiamy tutaj zamiast dx, dy, d¹x, d¹y wyrażenia (13) i (14) i przyrównujemy współczynniki przy dt¹, dtdu i du¹ po obu stronach (¹). Otrzymujemy w ten sposób układ trzech równań liniowych dla

32 3 z d¹z d¹ z    dz dz    . . .

wyznaczenia pochodnych —r,-,—r w którym występujące pochodne —-,są już znane, itd.

dx    dxdy dy    dx dy

Prostszą w zastosowaniu jest metoda odwrotna, przy której zmiennymi niezależnymi są x i y i tym samym wszystkie różniczki są brane względem tych zmiennych.

Przez różniczkowanie otrzymujemy z wzorów (12):

(17)    dt = adx^Jrbdy,    du — c dx + ddy,

(18)    d¹t=e dx¹ +/ dxdy +g dy¹,    d¹u = hdx¹ + idxdy+j dy¹,

itd. Tutaj też współczynniki a, b,.... i,j są znanymi funkcjami x, y, t i u.

1

(¹) Równanie A dt¹+B dtdu + C du¹ = A'dt¹ + B'dtdu + C'du¹ może być spełnione przez dowolne dt i du tylko wtedy, gdy A = A', B=B', C—C.

2

(') Przypominamy, że równanie A dt + Bdu= A'dt +B'du może być spełnione przez dowolne dt

3

du tylko wtedy, gdy A = A' i B=B'.