0441

442

VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania

Metoda obliczania różniczek. Traktując x, y, z jako zmienne niezależne obliczamy

dx' — a₁ dx + bi dy + Ci dz .    d²x'=0,

dy’ — a₂dx + b₂dy -\-c₂dz ,    d²y' — 0,

dz' = a₃dx + b₃dy + c₂dz ,    a² z'—0 .

Zatem

du    Su    du

du — — (fli dx + bi dy + Ci dz)-\---(a₂ dx-rb₂ dy + c₂ dz)+ — (a₃ dx-rb₂ dy+c₂ dz),

dx'    dy'    oz'

skąd

Su_ Yx^=iai ~3x

u du Su

a₂ -—- +03

sy

Su

dz'

Su

du Su Su du

ry^=hl s7'^+b2ź?^+biź7' ’

Su    Su

Yz ^_Cl a?^+C2 sy    s? '

Podnosząc te równania stronami do kwadratu, dodając i posługując się wzorami (26) otrzymujemy

' Su\² /Su\²

Dalej

2 S²u    S²u

d u— -—5 (ai dx + bi dy + Ci dz) +2---(a_t dx + b₂ dy-j-Ct dz)(a₂ dx + b₂ dy + c₂ dz)-

3x    Sx'S y'

Wyrażenie W₂ jest sumą współczynników przy dx², dy¹, dz¹. Łatwo jest się przekonać posługując się zależnościami (26), że

S²u S²u S²u

W ₂ = -—2 “b z—2 --2    *

3x Sy'² dz'²

4) Przekształcić równanie

₂ 3²w    ₂ S²w j &^2}v    3²w S²w S² w

^X Jx^^+y 17^+Z -J7^+yZW: ^{+ ZX}MTx^+Xy8^y⁼°

przechodząc do nowych zmiennych t, u, v związanych ze starymi zmiennymi wzorami x — uv, y=vt, z—tu.

Metoda wprost. Traktując t, u, v jako zmienne niezależne obliczamy

3w 3w

——-u-

S t Sy

Sw

Sw Sw

Sw

- tt,--=-D+---t.

dz    Su Sx dz

Sw Sw    Sw

— = — uĄ--t.

Sv    Sx    Sy

Stąd

Sw

Jx

Sw

1    Sw    1    Sw    1    Sw

- -—t-r + —« — + — v -—. 2.    St    2    Su    2    3v

Sw    1    Sw    1    Sw

Sy    2    St    2    Su    2    3v

Sw    1    3 w    1    Sw    1    Sw

Z —— = — t —- H u---V

Sz    2    St    2    Su    2    Su

Dalej

₂ S²w

IT-'

Sx

I Sw \    3 t 1 Sw 1 Sw 1 Sw v

I X —--W I =X --t---1--U--i--V--w I =

\ Sx /    8x\    2 St 2 Su 2 3v }

x