0401

402

VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania

nych układem (5), do którego to zagadnienia teraz przechodzimy, analogiczną rolę będzie grał jakobian funkcji stojących po lewych stronach względem zmiennych y_t, y₂, ...,y_m

		SF!	dFx	8FĄ
		8yt	dy2	Sym
		dF 2	dF2	8F2
J D(F1,F2,..	■,FJ	8>’i	dy2	dym
D(yi,y2,	■ >ym)	SFm-t	SFm-x	dFm-t
		dy i	Sy2	Sym
		oFm	SFm	ZFm
		dyx	dy2	oym

Twierdzenie IV. Załóżmy, że

1) wszystkie funkcje F_X,F₂, ..., F_m są określone i ciągle w (n+m)-wymiarowym prostopadłościanie

& = (x⁰1-d₁,x⁰1+zl₁;'... ;x“-d_n,x®+d_B;y?-zi'₁,y? + d'₁ ; ...; y°„-A'_m, >’m+4»>

o środku w punkcie (x°, x°₂, ..., x°, y°_x, y°₂.....y°);

2)    pochodne cząstkowe tych funkcji względem wszystkich zmiennych istnieją i są ciągle

w 3ł\

3)    punkt (x°,x₂, ...,x°, y?,y°, ...,}£) spełnia układ (5);

4)    jakobian J (patrz (6)) jest w tym punkcie różny od zera.

Wówczas

a) w pewnym otoczeniu punktu (x?, ...,y°) układ równań (5) określa y_x,y₂, ■■■,y_m jako jednoznaczne funkcje zmiennych Xi,x₂, ..., x„:

yi fifai > x₂, ..., x„), ..., y_m~! f_m—iO*i > x₂, ..., x_n), y_m f_m(x_x, x₂, ..., x„) ,

b) dla x_x =x°, x₂=x₂, ..., x„ = x„ funkcje te przybierają odpowiednio wartości y°,

/i(x?, x₂, ...,x°) = y?..... fm-i(x°,x₂, ...,x°) = y°_!, /_m(x?',x°, ....X°) = y° ;

c)    funkcje /i,/₂, ■■■,f_m są ciągle;

d)    mają ciągle pochodne cząstkowe względem wszystkich zmiennych.

Dowód przeprowadzimy posługując się indukcją matematyczną. Dla m= 1, gdy układ sprowadza się do jednego równania, twierdzenie jest prawdziwe — jest to wówczas twierdzenie III. Przypuśćmy teraz, że twierdzenie jest prawdziwe, gdy układ składa się z m — 1 równań, które określają m— 1 funkcji uwikłanych; udowodnimy, że jest ono wówczas prawdziwe dla układu m równań.