0457

458

VII. Zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii

Dla zbadania zachowania się krzywej w nieskończoności rozpatrzmy odległości punktu krzywej sin#

od osi biegunowej: y=rsia8=a ——, Gdy r-+ ± oo, czyli gdy 8-* ±0, lim y=a. A więc prosta popro-

U

wadzona równolegle do osi biegunowej w odległości a od niej jest asymptotą.

Przykład 3. Spirala logarytmiczna r=ae^m> (rys. 124).

Jeśli kąt 8 wzrasta (lub maleje) w postępie arytmetycznym, to r rośnie (maleje) w postępie geometrycznym. Odłóżmy na osi biegunowej odcinek OA=a i na prostej prostopadłej do niej odcinek OB-

=ae^m*l²; obydwa punkty A i B leżą na badanej krzywej. Zbudujemy teraz łamaną ABCDE o kątach prostych między ogniwami. Z podobieństwa trójkątów łatwo jest wywnioskować, że odcinki O A, OB, OC, OD, OE, ... tworzą postęp geometryczny o ilorazie e^m^², a ponieważ odpowiednie

kąty są równe 0, $iz, 2 ■ łit, 3 ■ Jn.....więc oczywiście

punkty C, D, E, ... także leżą na rozpatrywanej spirali.

Gdy kąt 8 rośnie od 0 do + oo, to punkt obiega nieskończenie wiele razy dokoła bieguna oddalając się przy tym od niego bardzo szybko do nieskończoności ; odległości między zwojami nie są dla tej spirali równe. Kąt 0 może przybierać także wartości ujemne. Gdy 8 dąży do — oo, promień wodzący dąży do 0. Krzywa zakręca się wówczas nieskończenie wiele razy dokoła bieguna przybliżając się do niego nieograniczenie, lecz nigdy go nie osiągając (patrz część AB'C'D'E' ... na rys. 124). Biegun jest więc punktem asymptotycznym krzywej.

Zauważmy, że obracając oś biegunową dokoła bieguna można doprowadzić do zniknięcia czynnika a i sprowadzić równanie spirali logarytmicznej do prostszej postaci r=e^m>.

Przykład 4. Ślimaki r=a cos 8+b (rys. 125).

a) M’M=b>a    C) M'M=b=a