0497

498

VII. Zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii

i    dla których

M'„M'_n'<5„ i przy tym t”-t'_n^e (n = 1,2,3,...).

Korzystając z lematu Bolzano-Weierstrassa [41] można założyć, że przy tym

*£-»**, C

(łatwo jest do tego doprowadzić wybierając w razie potrzeby zbieżne podciągi). Oczywiście

t**-r*> e,

a więc t**^t*. Jednocześnie dla odpowiednich punktów M* i M** jest    0,

a więc punkty te muszą się pokrywać, co jest niemożliwe, bo krzywa nie ma punktów wielokrotnych i nie jest zamknięta. Otrzymana sprzeczność jest zakończeniem dowodu.

Dla krzywej zamkniętej lemat jest fałszywy — cięciwa M'M" może być dowolnie mała i przy t' dostatecznie bliskim t₀, i przy t" dostatecznie bliskim T.

246. Zwrot na krzywej. Niech punkt A odpowiada wartości parametru t=t₀, a punkt B wartości t=T. Będziemy nazywali A punktem początkowym, a B punktem końcowym krzywej. Ogólnie, niech punkty krzywej będą uporządkowane w kolejności odpowiadającej wzrastaniu parametru t, to znaczy z dwóch punktów różnych od A i B ten następuje po drugim, który odpowiada większej wartości parametru. W ten sposób zostaje określony zwrot na krzywej. Jednak określenie to jest formalnie zależne od pewnego, szczególnego przedstawienia parametrycznego (1) krzywej. Pokażemy, że w rzeczywistości pojęcie zwrotu na krzywej nie zależy od sposobu, w jaki jest ona konkretnie dana.

Zaczniemy od prostego przypadku krzywej niezamkniętej.

Niech krzywa niezamknięta AB ma oprócz przedstawienia (1) jeszcze przedstawienie (1*)    x=ę*(u), y = y/*(u)    (u₀<u^U)

także bez punktów wielokrotnych, w którym funkcje ę* i y/* są też ciągłe, i niech przy tym wartości u = u₀ odpowiada punkt A, a wartości u—U punkt B. Wówczas oba przedstawienia określają na krzywej ten sam zwrot.

Każdej wartości t odpowiada pewien punkt krzywej, który z kolei jednoznacznie określa wartość u, i na odwrót, każdej wartości u odpowiada jedna, określona wartość t. Tym samym u jest jednoznaczną funkcją u—co{t) zmiennej t; ponadto gdy t przebiega od t_Q do T, funkcja ta przybiera każdą swą wartość tylko raz. W szczególności co(t₀) = u₀ i co{T)—U.

Z lematu 1 wiemy, że dwóm dostatecznie bliskim wartościom t odpowiadają dowolnie bliskie punkty krzywej, a punktom takim na podstawie lematu 2 odpowiadają dowolnie bliskie wartości u. A więc funkcja «=co (t) jest ciągła.

Wynika stąd łatwo, że funkcja ta jest monotonicznie (ściśle) rosnąca. Istotnie, gdyby dla t₀<t'<t" było u'=co(tj>u”—co(t")>u₀=oj(t₀), to ze znanej własności funkcji ciągłych [82] wynikałoby, że istnieje wartość t'" zawarta między t₀ i t', dla której co(t"') = —u". Zatem funkcja u=co(t), wbrew temu co wykazaliśmy wyżej, przybierałaby wartość u" dwukrotnie.