0459

460

VII. Zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii

Cała krzywa położona jest w dwu kątach wierzchołkowych między prostymi SS i TT nachylonymi pod kątami i im do osi biegunowej (patrz rysunek). Przecina ona samą siebie w biegunie, któremu odpowiadają wartości    ^tt, ^m, \m.

Jeśli w zwykły sposób przejdziemy do współrzędnych prostokątnych, to otrzymamy łatwo uwikłane

równanie lemniskaty    ₂    ,,₂ „2,2    2.

U + y ) =2a (x -y ).

227. Powierzchnie i krzywe w przestrzeni. Nie zamierzamy zagłębiać się tutaj w zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii w przestrzeni, pozostawiając te zagadnienia dla specjalnego wykładu geometrii różniczkowej. Dlatego też omawiając twory przestrzenne ograniczymy się do tego tylko, co jest konieczne dla dalszych części samego wykładu analizy.

Przypominamy jeszcze raz, że tak jak dotychczas, będziemy zakładali, że wszystkie rozpatrywane funkcje są ciągłe i mają ciągłe pochodne względem wszystkich argumentów.

Będziemy używali prostokątnego układu współrzędnych Oxyz. Mówiliśmy już o tym, że powierzchnia w przestrzeni może być przedstawiona równaniem wiążącym współrzędne bieżące jej punktów

(6)    z=f(x,y)

(patrz np. ustęp 160). Równanie takie, jak również analogiczne równania x~g(y, z) i y = = h(z, x), będziemy nazywali nieuwikłanym równaniem powierzchni. Do tego najprostszego przypadku sprowadzają się w pewnym sensie inne sposoby przedstawiania powierzchni. Zdarza się często, że powierzchnia jest przedstawiona równaniem postaci

(7)    F(x,y,z) = 0,

nie rozwiązanym względem żadnej ze współrzędnych (równanie uwikłane powierzchni). Jeżeli w punkcie (x₀, y₀, z₀), spełniającym to równanie, choć jedna z pochodnych cząstkowych F_x(x₀, y₀, z₀), Fy(xo, >’₀, z₀) lub F'_z(x₀, y₀, z₀) jest różna od zera, to w otoczeniu tego punktu powierzchnię można przedstawić równaniem nieuwikłanym jednego z trzech typów. Istotnie, jeżeli np. F'_z{x₀, y₀, z₀)^0, to z twierdzenia III z ustępu 208 wynika, że co najmniej w pewnym otoczeniu rozpatrywanego punktu równanie to określa z jako jednoznaczną funkcję z=f(x, y) zmiennych x i y, ciągłą wraz ze swymi pochodnymi względem obu argumentów.

Tak więc wyjątek może stanowić tylko punkt osobliwy powierzchni spełniający jednocześnie trzy warunki

f'_x=o, f;=o, f:_=o.

Równanie

(8)    F(x,y) = 0

nie zawierające w ogóle jednej ze współrzędnych może być także interpretowane jako równanie powierzchni. Mianowicie na płaszczyźnie Oxy przedstawia ono krzywą; jeśli się na tej krzywej jako na kierownicy zbuduje powierzchnię walcową o tworzących równoległych do osi z, to wszystkie punkty tęj powierzchni — i tylko one — będą spełniały to równanie. Współrzędna z nie występuje w nim bowiem i tym samym nie jest niczym ograniczona. Analogicznie można interpretować równania postaci G(y, z)=0 i H(z, x)=0.