0485

486

VII. Zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii

W szczególności krzywa (2) jest zawsze obwiednią, jeżeli krzywe danej rodziny nie mają wcale punktów osobliwych.

Na odwrót, gdy krzywe rodziny mają punkty osobliwe i gdy miejsce geometryczne tych punktów przy zmiennym a tworzy krzywą (2), to funkcje ę i yr muszą spełniać układ

(9) (¹), mimo że tym razem krzywa ta może nie być obwiednią.

Tak więc, gdy istnieją punkty osobliwe, krzywą (2) otrzymaną w wyniku rozwiązania układu (9) trzeba jeszcze poddać dalszemu badaniu. Może być ona bowiem obwiednią, ale może być też miejscem geometrycznym punktów osobliwych krzywych rodziny, lub wreszcie — może być częściowo obwiednią, a częściowo takim miejscem geometrycznym.

Zazwyczaj przy szukaniu obwiedni nie zatrzymujemy się na układzie (9), lecz idziemy dalej — rugujemy z niego a. Innymi słowy znajdujemy równanie postaci

(10)    0(x,y)=O,

nie zawierające parametru a i będące warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby dla pary wartości x i y istniała wartość a, spełniająca wraz z x i y oba równania (9).

Wszystkie punkty krzywej (2) otrzymanej przez rozwiązanie układu (9) muszą spełniać równanie (10). Jeżeli to równanie nie przedstawia żadnej krzywej, to oczywiście obwiednia nie istnieje. Jeżeli zaś równanie (10) przedstawia krzywą (nazywamy ją krzywą wyróżnikową), to krzywą tę należy jeszcze zbadać. Może się ona składać z punktów obwiedni, jeżeli obwiednia istnieje, ale może też zawierać miejsce geometryczne punktów osobliwych, jeżeli takie miejsce geometryczne istnieje. Jest tu możliwy jeszcze jeden niepomyślny przypadek. Mianowicie krzywa wyróżnikowa może zawierać jedną lub kilka krzywych rodziny. Może się to zdarzyć wówczas, gdy nieskończenie wielu punktom krzywej wyróżnikowej odpowiada ta sama wartość a, spełniająca wraz z nimi równania (9)(²).

Wszystko, co powiedzieliśmy, najlepiej jest wyjaśnić na przykładach.

239. Przykłady.

1) Znaleźć obwiednię rodziny okręgów (rys. 141).

(x—a)²+y²=r² (r=const).

Różniczkując względem a otrzymujemy — 2(x—a)=0. Rugując teraz o, dostajemy równanie y¹ -r² =0, czyli y= ±r. Są to dwie proste równoległe do osi x, które oczywiście tworzą obwiednię(³).

(') Dla funkcji tych spełnione jest równanie (3), a więc i (4). Dalej, jak już wyjaśniliśmy w tekście, spemione jest też równanie (7); zestawiając (7) i (4) otrzymujemy (8).

(²)    Jeżeli się operuje bezpośrednio równaniami (9), to ten przypadek jest wykluczony, bo równania te należy rozwiązać przy zmiennym a.

(³)    Jeżeli równanie rodziny napiszemy w postaci

x-a±yjr²-y²= 0,

to różniczkując względem a otrzymamy —1=0. Z otrzymanej sprzeczności wynika, zdawałoby się, że nie istnieje obwiednia. Taki wniosek byłby jednak fałszywy, ponieważ w całej wyłożonej teorii zakładamy istnienie i ciągłość pochodnych cząstkowych lewej strony równania rodziny, a tutaj przy y=±r nie ma skończonej pochodnej względem y.