0486

487

§ 3. Styczność krzywych

Rys. 141

2) Znaleźć obwiednię wszystkich położeń prostej ślizgającej się dwoma ustalonymi punktami, odległymi od siebie o a, po osiach układu współrzędnych (rys. 142).

Przyjmując za parametr kąt # utworzony przez prostopadłą do poruszającej się prostej z osią x, możemy równanie tej prostej napisać w postaci

—+—=a sin # cos #

Różniczkujemy względem # i otrzymujemy

x

sin² 0

cos 0 +

y

cos²#

sin 0=0,

czyli

x _ y sin³ 0 cos³ 0

Można to napisać inaczej

x y    x y

sin#    cos#    sin# cos#

sin²# cos²# sin²#+cos²#

skąd jc=osin³ 0, y=a cos³ #.

Czytelnik pozna w tych równaniach parametryczne przedstawienie asteroidy (patrz ustęp 224, 4); t=iit—0), która w tym przypadku jest rzeczywiście obwiednią.

Z tą własnością asteroidy zetknęliśmy się już raz [231, 3)].

3) W wielu przypadkach obwiednia jak gdyby ogranicza część płaszczyzny zajętą przez krzywe rodziny. Następujący przykład pokazuje, że nie zawsze tak jest. Weźmy

y=(x-a)³

(rys. 143). Tutaj obwiednią jest oś x przecinająca wszystkie krzywe rodziny. Podobna sytuacja będzie w następnym, bardziej złożonym przykładzie.

4) Znaleźć obwiednię rodziny y=a²(x—a)² (parabole). Zestawiając to równanie z równaniem 2a(x—a)²—2a¹(x—a)—2a(x—a)(x—2«)=0,

otrzymujemy x=a, y=0 albo jc=2a, y—a*. Krzywa wyróżnikowa składa się z prostej y—0 i krzywej 16y=x*. Prosta ta jest styczna do wszystkich parabol w wierzchołkach, krzywa zaś ma z każdą z parabol trzy punkty wspólne: jest styczna do nich dla x=2a i przecina je dla x= —2a±2a *J2.