0526

Zagadnienie przedłużania funkcji

527

(3) dła k=0 otrzymujemy

lim <p*(u, v)=(k₁ + X₂ + ...+k_n+l)ę(u_o,0) = ip(u₀,0), -o

ze względu na pierwszy z warunków (3), odpowiadający k=0.

Wynika z tego ciągłość funkcji cp* w tych punktach prostokąta 9*, które leżą na prostej r=0; ciągłość w pozostałych punktach jest oczywista.

Zajmiemy się teraz istnieniem i ciągłością pochodnych funkcji ę* w 9*. Wystarczy tutaj również rozpatrywać tylko punkty prostej t>=0. Dla wszystkich pochodnych

(5)

8^i+k<p*(u,v)

8u‘dv^k

(Ki + fc^n)

udowodnimy równość (6)

Um ^8<+Vfa.^p>₌S^i+k<p(u_o,0) •u-uo du'dv^k    du'8v^k

v~* ~0

W tym celu zróżniczkujemy równość (4) i razy względem w, a następnie k razy względem v (i><0):

d^i+k<p*(u,v) 8u‘dv^k

= (-!)%

d^i+k<p(u,-v) J 1 y , ^^l+V(«, -ł») ,    ,

V ²/    du‘dy^k

+

''ll+l

n+1

O

Przejdźmy teraz po obu stronach do granicy dla u-*u_Q i v~* —0. Korzystając z równań (3) otrzymujemy w rezultacie równość (6).

Udowodniliśmy zatem, że dla dowolnej pochodnej (5) istnieje jedna wspólna granica od strony y>0 i od strony y<0. Co więcej, jeżeli jako wartość pochodnej (5) w punktach prostej y=0 przyjmiemy tę granicę, to pochodna ta stanie się funkcją ciągłą w całym prostokącie 9*. Dalej, punkt («₀, 0) jest punktem wewnętrznym prostokąta 9*, a więc w tym punkcie powinna istnieć pochodna w zwykłym sensie. Możemy jednak powołać się tutaj na to, co udowodniliśmy w poprzednim ustępie: wartość graniczna jest jednocześnie prawdziwą pochodną.

(^ł) Symbole

a'⁺V(«, —v)

>(", -iv)

d^{l + k}<p (u,--iA

l »+l /

du'dv‘

-t+k

3u'dv^k

du‘dv^k

o" ę(u,v)

oznaczają pochodną    —_;— po podstawieniu w niej zamiast v odpowiednio —v, ~iv, .

óućv

a nie pochodne odpowiednich funkcji złożonych (przypis redakcji wydania polskiego).

1

—-v,

n + 1