0528

529

Zagadnienie przedłużania funkcji

oraz

(8)    = 0    w S-a\,

ponieważ w <r₍ równy jest zeru czynnik h„ a w $ — a\ — czynnik 1 —/t;. Dalej

H\ +H₂ + H₃ + ...+H_i = (l-h₁) + h_l(l—h₂)+-..+h_l h₂-..h_i_₁(l —h_i)=l—h_lh₂...h_i.

A więc

(9)    H_l + H₂ + ...+H_t= 1 w ff;,

bo w kole tym równy jest zeru czynnik h_t.

Określamy teraz funkcje przyjmując, że w kole er" funkcja ę_{ pokrywa się z funkcją/lub z przedłużeniem funkcji /, o którym mowa w założeniach twierdzenia; poza kołem o" przyjmujemy ę_t=f w punktach należących do Jt i ^,=0 w pozostałych punktach. Funkcja (p_t H_t zeruje się w i — cr'- [patrz (8)] i oczywiście na całej płaszczyźnie $ jest klasy ^<€ⁿ. Przyjmijmy wreszcie we wszystkich punktach $

m

/*= I <PjHj.

j= 1

Określona w ten sposób funkcja /* jest klasy na całej płaszczyźnie S.

Weźmy dowolny punkt M z J(\ punkt ten należy do pewnego koła o_t. Ponieważ w tym punkcie ęfM)=f(M) dla każdego j, i oprócz tego

Hi + H₂ +... + //, = 1 , oraz    Hj = 0    dla j>i,

więc    i funkcja f* jest szukanym przedłużeniem funkcji f

260. Podstawowe twierdzenie o przedłużaniu. Możemy już teraz udowodnić twierdzenie o przedłużaniu dla funkcji dwu zmiennych nakładając jednak pewne ograniczenia na brzeg obszaru.

Będziemy nazywali krzywą gładką klasy (n> 1) krzywą zwykłą bez punktów osobliwych przedstawioną równaniami

(10)    X=<p(t),    y = \p{t),

gdzie t przebiega pewien przedział^", jeżeli funkcje ę i y/ są w tym przedziale klasy ⁽6ⁿ(^v).

Twierdzenie I. Jeżeli funkcja f(x,y) jest klasy <€ⁿ (n^ 1) w obszarze Jt ograniczonym i domkniętym, którego brzeg S£ składa się ze skończonej liczby nie przecinających się zamkniętych krzywych gładkich także klasy    to funkcję tę można przedłużyć na

całą płaszczyznę $ z zachowaniem klasy.

C) W przypadku krzywej gładkiej zamkniętej pochodne jednostronne aż do rzędu n muszą być równe na obu końcach przedziału 5".

(²) Brzeg obszaru będący krzywą zamkniętą gładką lub kawałkami gładką (p. dalej ustęp 261) nazywamy też konturem.

34 G. M. Fichtenholz