088

88

6. Testowanie hipotez

Rozwiązanie.

Do zweryfikowania tych hipotez zastosujemy test niezależności

ⁿP i

j=i

Ponieważ w ostatniej klasie liczba obserwacji jest mała, więc łączymy ją z poprzednią, co daje liczbę klas r = 4. Teoretyczne prawdopodobieństwo należenia do i-tej klasy dla rozkładu Poissona wynosi:

p=^-e^x dla/= 0,1,2,

i!

P3 = ¹ ~(Po + P] +Pl)'

a) Ponieważ parametr A jest nieznany, więc należy go oszacować metodą największej wiarogodności, czyli A = x = 1.26. Zatem p₀ = 0.2837, p_{ = 0.3574, p₂ = 0.2252, p₂ =0.1337. Wartość statystyki testowej

_/2 _ (25 — 28.37)²    (39

^Xohs ~    28.37 ^H

35.74)²    (24 — 22.52)²    (12- 13.37)²

35.74

22.52

+ -

13.37

= 0.9354.

Z tablic rozkładu chi-kwadrat z r — k — 1 =2 stopniami swobody (k = 1 jest liczbą szacowanych parametrów) i dla a =0.01 odczytujemy wartość krytyczną Xa =9.2103. Ponieważ %f_)hs nie należy do obszaru krytycznego (%a,°°), więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, że generowanym rozkładem jest rozkład Poissona. b) W tym przypadku parametr rozkładu Poissona jest znany. Prawdopodobieństwa p_i wynoszą: p_n = 0.2865, /?, = 0.3581, p₂ = 0.2238, p₃ = 0.1316. Wartość statystyki testowej

2    (25

xL = ~

• 28.65)²    (39

28.65

+ -

35.81)² _; (24 — 22.38)² _| (12

13.16)²

35.81

22.38

13.16

: 0.9687.

Wartość krytyczną odczytujemy dla trzech stopni swobody: Xa ~ ^ -3449. Również w tym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, że generowany rozkład jest rozkładem Poissona z parametrem A = 1.25.

Przykład 6.2.2.

Obserwowano zmienną losową X i otrzymano wyniki ze 130 obserwacji.

Wartości zmiennej X	Liczba obserwacji
mniej niż 3.6	2
3.6 —4.2	8
i OC <N !	35
4.8-5.4	43
5.4 — 6.0	22
6.0-6.6	15
więcej od 6.6	5