097

97

7.1. Rozkłady dwuwymiarowe

b)

Pr(X² + Y² <

.0.5) = jj f(x,y)dxdy,

gdzie A = {(x,y) (= K : x² +y² < 0.5}. Przechodząc do współrzędnych biegunowych

x=rcos<p, y = rsin<p,

otrzymujemy

rdrdę,

Pr(X² + y²<0.5) = jj 3r²

gdzie

Zatem

n/2    l/y/2

Pr(X² + y² <0.5) = 3 j dtp j r³dr-

|,0„

-71/2    0

Przykład 7.1.2.

Zmienna losowa X jest liczbą pojazdów mijających pewien punkt w czasie 30 s. Zmienna losowa Y jest liczbą pojazdów zarejestrowanych w tym samym czasie (30 s) i w tym samym punkcie przez specjalny (niedoskonały) licznik. Rzeczywista liczba pojazdów X i zarejestrowana liczba pojazdów Y nie zawsze są zgodne. W celu wyznaczenia przyczyn niedoskonałości licznika zgromadzono dużą liczbę obserwacji dwuwymiarowego wektora losowego (x,y) i na tej podstawie przyjęto następujący rozkład prawdopodobieństwa dla

(x,y).

\^x	0	1	2	3	4
0	0.2500	0.0400	0.0100	0.0000	0.0000
1	0.0000	0.3600	0.0300	0.0100	0.0000
2	0.0000	0.0000	0.1600	0.0200	0.0025
3	0.0000	0.0000	0.0000	0.0700	0.0150
4	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0325

a)    Wyznaczyć rozkłady brzegowe X i Y.

b)    Wyznaczyć rozkład warunkowy Y przy X = x, gdzie x = 0,1.2.3.4.

c)    Wyznaczyć funkcję regresji pierwszego rodzaju Y względem X, tzn. m₂(x) = E(y|X = x), dla x = 0,1,2,3,4.