159

159

13. Analiza stabilności lokalnej i globalnej

W przypadku układów dynamicznych mamy do czynienia z następującym układem równań różniczkowo-algebraicznych opisujących stan nieustalony:

x = f(x,y),    (13.1)

0 = g(x,y).    (13.2)

Podczas rozwiązywania układu równań różniczkowych (13.1) w każdym punkcie musi być spełniony układ równań algebraicznych (13.2).

Układ jest stabilny globalnie, jeżeli po każdym możliwym zakłóceniu zmienne stanu przyjmują ustalone wartości. Badanie stabilności globalnej wymaga numerycznego rozwiązania układu równań różniczkowo-algebraicznych najczęściej dla przypadku krytycznych zakłóceń. Jest to czasochłonne i wymaga dużego nakładu pracy związanego z analizą przebiegów czasowych.

Jeżeli interesuje nas wpływ układów regulacji na stabilność, to wygodniejsze jest badanie stabilności lokalnej. Stabilność lokalna jest stabilnością układu nieliniowego przy działaniu małych zakłóceń. Bada się ją zgodnie z I zasadą Lapunowa, z której wynika, że stan ustalony jest stabilny lokalnie, jeżeli zlinearyzowany w tym punkcie układ równań różniczkowych jest stabilny.

W wyniku linearyzacji otrzymujemy układ równań macierzowych o postaci:

Ax = AlrAx + An.Ay,	(13.3)
0 = A v(Ax + A vvAy.	(13.4)
Po wyeliminowaniu zmiennych niestanowych
Ay = A ^:A t.\x	(13.5)
otrzymujemy równanie stanu
Ax = (A Vl - A(.vA;'Ava)Ax = AAx,	(13.6)

gdzie A oznacza macierz stanu, zwaną także macierzą systemową.

Wartości własne A macierzy A spełniają następujące równanie charakterystyczne:

det (diag (A) - Aj = 0,    (13.7)

gdzie:

det - wyznacznik,

diag - macierz, diagonalna.