2012 10 08 369

22 MYŚLENIE W SYTUACJI PROBABILISTYCZNEJ

dopodobnych zdarzeń (50% na 50%). Urodzenie się chłopca lub dziewczyn^ albo wypadnięcie orła lub reszki przy rzucie monetą, to przykłady takich syt^ acji. Trzeci rząd w trójkącie Pascala to możliwe kombinacje chłopców i dziewczy. nek w rodzinie z dwójką dzieci (por. Rycinę 4).

Zdarzenie pewne:			1
Rzut monetą (o vs. r):		1		1
Narodziny dziecka (ch vs. dz):
Liczba chłopców	1		2	1
i dziewczynek	ch		ch, ch	dz
przy dwójce dzieci	dz		dz, dz	ch

Rycina 4. Przykłady zdarzeń dla 3 wierszy w trójkącie Pascala

Zanalizujmy ostatni z podanych wyżej przykładów, to jest urodzenie się chłopca i dziewczynki w rodzinie z dwójką dzieci. Możliwe kombinacje są następujące: jedna kombinacja, że jest to dwóch chłopców i jedna kombinacja, że są to dwie dziewczynki oraz dwie kombinacje, że jest chłopiec i dziewczynka. Skoro jest tylko jedna kombinacja na 4 możliwe, że jest to dwóch chłopców albo dwie dziewczynki, to prawdopodobieństwo, że urodzi się dwóch chłopców/dwie dziewczynki wynosi 25%. Z kolei układ jeden chłopiec i jedna dziewczynka występuje w 2 spośród 4 możliwych kombinacji. W związku z tym prawdopodobieństwo, że w rodzinie z dwójką dzieci jest jeden chłopiec i jedna dziewczynka wynosi 50%. Co najmniej jeden chłopiec/jedna dziewczynka pojawia się w 3 spośród 4 możliwych kombinacji. Wobec tego prawdopodobieństwo, że urodzi się co najmniej jeden chłopiec/jedna dziewczynka, wynosi 75%.

Wracając do problemu przewidywania przyszłych zdarzeń w sytuacji, w której już coś się zdarzyło, zastosujemy trójkąt Pascala do następującego problemu - jakie jest prawdopodobieństwo, że drużyna A wygra turniej, składający się z 7 meczy, jeśli przegrała pierwszy mecz, a warunkiem wygrania turnieju są co najmniej 4 zwycięstwa. Dla uproszczenia przyjmiemy kilka założeń takich jak to, że obie drużyny są równie dobre, że mecze odbywają się na neutralnym gruncie itd. Założenia te pozwalają przyjąć, że prawdopodobieństwo wygrania każdego z meczy przez drużynę A jest takie samo jak prawdopodobieństwo wygrania go przez drużynę B^{1 2}.

Wynik jednej gry już znamy - wygrała drużyna przeciwna - B. Aby wygrać turniej, nasza drużyna musi wygrać przynajmniej 4 mecze, natomiast przeciwnik musi wygrać tylko 3 mecze. W tej sytuacji wynik turnieju zależy od 4 najlepszych meczy spośród 6, które pozostały do rozegrania. Musimy więc odpowiedzieć na następujące pytania: 1) jakie są możliwe kombinacje wygranych i przegranych w 6 meczach oraz 2) ile spośród nich pozwala naszej drużynie na zwycięstwo w turnieju.

Ponieważ mamy 2 możliwe wyniki w 6 meczach, to musimy znaleźć w trójkącie Pascala rząd, który opisuje sytuację 2⁶, czyli 64 możliwe kombinacje. Jest to najniższy rząd na Rycinie 2, czyli liczby: 1,6,15, 20,15, 6,1. Na Rycinie 5 pokazane są te kombinacje w odniesieniu do postawionego problemu.

1    6    15    20    15    6    1

AAAAAA

ABBBBB

ABAAAA

AABAAA

AAABAA

AAAABA

AAAAAB

A wygra 4 B wygra 2

B wygra 4 A wygra 2

BBBBBB

BAAAAA

BABBBB

BBABBB

BBBABB

BBBBAB

BBBBBA

Rycina 5. Możliwe kombinacje wygranych i przegranych meczy przez drużynę A i B

Jak to ilustruje Rycina 5, istnieje tylko jedna taka kombinacja, że drużyna A wygra wszystkie pozostałe mecze. Jest sześć kombinacji, w których drużyna A wygrywa 5 meczy, a przeciwnik tylko jeden. Jest 15 kombinacji, w których drużyna A wygrywa 4 razy, a przeciwnik 2 razy. Pozostałe sekwencje nie są dla nas interesujące (mniej niż 4 wygrane mecze nie pozwalają wygrać turnieju). Na podstawie tej analizy możemy stwierdzić, że są 22 możliwe kombinacje (1+6+15), które pozwolą naszej drużynie A wygrać turniej. Wobec tego prawdopodobieństwo wygrania turnieju, mimo przegrania pierwszego meczu, wynosi 22/64.

1.6. Jak przewidywać zdarzenia przy niepełnej wiedzy?

sowanie w odniesieniu do gier hazardowych, ale w życiu bardzo rzadko można

Takie pytanie stawia Jacob Bemoulli. Punktem wyjścia do postawienia tego pytania jest krytyka wcześniejszych prac na temat prawdopodobieństwa, w których jest mowa jedynie o przewidywaniu zdarzeń przy pełnej wiedzy o możliwych wynikach i ich prawdopodobieństwach. Taki sposób myślenia może mieć zasto-

1

Zgodnie z danymi demograficznymi dziewczynki rodzą się nieco częściej niż chłopcy i liczebność kobiet i mężczyzn w różnych grupach wiekowych niekoniecznie jest równa 1:1. W ogólności jednak proporcja 1:1 jest mniej więcej zachowana i co ważniejsze większość ludzi sądzi, że jest mniej więcej tyle samo kobiet i mężczyzn w populacji, co wykazano w kilku znanych eksperymentach opisanych w rozdziale 2.

2

* Oczywiście wyliczenia można także prowadzić, jeśli założy się, że A jest lepsze od B i oceni szanse jako 3:1. Jednak w takim przypadku obliczenia są bardziej złożone.