84� (2)

3 Roz/>ływy mocy

3.2. METODY OBLICZENIOWE WYZNACZANIA ROZPŁYWÓW MOCY

3.2.1. Uwagi ogólne

Celem niniejszych rozważań jest wprowadzenie do zagadnień algoryt-mic7.nego obliczania rozpływów mocy, a nie szczegółowe przedstawienie często bardzo skomplikowanych, współczesnych, praktycznych metod obliczeniowych. Obecnie algorytmy te są niezwykle rozbudowane i zawierają wiele funkcji dodatkowych, takich jak: moduły interakcyjne, bieżąca kontrola zbieżności, ocena bezpieczeństwa pracy systemu, współpraca ze wspólną bazą danych i wiele innych.

Metoda Warda-I Iale’a [76] była historycznie pierwszą metodą algorytmicznego wyznaczania rozpływów mocy, przygotowaną do obliczeń na maszynie cyfrowej. W póż.niejszym okresie była ona wielokrotnie modyfikowana, m.in. przez. Giimma i Stagga [67], Podczas, gdy metoda War-da-Iłalc’a koryguje napięcia w kolejnych iteracjach wg sztywnego schematu, tj. wg numeracji węzłów, to metoda relaksacyjna Jordana wprowadza element wyboru. Z kolei metoda Jordana charakteryzuje się jedynie dobrą zbieżnością początkową. Obie metody Warda-llale'a i Jordana są niezwykle proste i należą do grupy metod bezpośrednich, przy czym metoda Jordana jest pewnym rozwinięciem metod bezpośrednich i należy do podgrupy metod relaksacyjnych. Obecnie żadna z nich nie jest stosowana w praktycznych obliczeniach energetycznych .

Metoda Gaussa w jej czterech modyfikacjach należy do klasycznych metod hezgradientowych rozwiązywania układu równań nieliniowych. Jest to metoda prosta pojęciowo i łatwa w interpretacji. Pomimo to, iż. nie jest obecnie wykorzystywana, to jednak stanowi dobre wprowadzenie do algorytmizacji rozpływów mocy i będzie w skrócie przedstawiona w tym rozdziale. Ma ona dobre właściwości numeryczne, ale niestety wymaga dużej liczby iteracji. W opisie metody Gaussa nie uwzględniono możliwości występowania w sieci węzłów typu PU, aby zachować przejrzystość opisu metody w dziedzinie liczb zespolonych. W dalszej części podano wskazówki dotyczące rozszerzenia algorytmu o typ węzłów z regulowanym napięciem.

Metoda Newtona, zwana również metodą Newtona-Raphsona, jest obecnie najczęściej używaną metodą obliczeń rozpływów mocy i zalicza się do grupy metod gradientowych. Zarówno podstawowy algorytm, jak również najważniejsze modyfikacje tej metody są przedstawione szczegółowo w dalszej części tego rozdziału [4, 21, 22, 23,42).

3.2.2. Podstawy ogólnej metody Gaussa

Poniżej przedstawiono matematyczne uzasadnienie ogólnej metody Gaussa rozwiązywania nieliniowego układu równań. Macierzowy zapis układu nieliniowych równań można przedstawić w postaci

/(*) = 0    (3.9)

Dla danego    wektora funkcji nieliniowych / można jednak prze

kształcić ten zapis do innej, równoważnej zależności

F(x)-x = 0    (3.10)

lub inaczej

x = F(x)    (3.11)

Powyższa równoważność polega na tym, że oba układy mają te same rozwiązania. Dodajmy, że przekształcenie to nie jest jednoznaczne i można wyznaczyć wiele postaci funkcji F(x), dla których F(x)-x ma to samo rozwiązanie, co f(x). Analogię skalarną jednego z takich przekształceń pokazuje rys. 3.3. Obszar pomiędzy F(x) a prostą at odwzorowuje wartości funkcji /•'(x) - x. która osiąga wartości równe zeru dokładnie dla tych samych punktów z dziedziny, co funkcja f(x). Poszukiwanie punktów x_k, w których F(x) = x, będzie więc równoważne poszukiwaniu rozwiązań x_k funkcji f(x). Proces iteracyjnego poszukiwania rozwiązania jest przedstawiony również na rys. 3.3. Może on być zbieżny lub nie prowadzić do znalezienia rozwiązania i wtedy jest rozbieżny. Przykładowo (rys. 3.3) wybranie wartości x',^0> jako punktu startowego, będzie prowadzić do rozwiązania .r,. podczas gdy z punktu startowego xj,^0> — iteracje będą rozbieżne. Przykład ten potwierdza ważność wyboru „dobrego” punktu startowego. Sam proces iteracyjny metody Gaussa można uzasadnić jedynie empirycznie, „poruszaniem się” w obszarze pomiędzy F(x) i .v, poprzez skorzystanie z zależności F(x) - x = 0. Wybierając wartość startową do iteracji .t’⁰¹, oblicza się wartość funkcji F(jc^<0>), którą zgodnie z równaniem .t = F(x) przyjmuje się jako następne x⁰⁾ przybliżenie rozwią-

85